Ecuaciones Fraccionarias

Ejemplo 1. Resuelva

6x − 3 = 3x − 2 2x − 7 x + 5

multiplicando cruzado

(6x −3)(x + 5) = (3x − 2)(2x + 7)

6x2 + 30x − 3x −15 = 6x2 + 21x − 4x −14 27 x − 15 = 17 x − 14

10x =1 x=1

Por una simple reducción, muchas ecuaciones pueden ser llevadas a la forma del ejemplo 1.

Ejemplo 2. Resolver

8x + 23 − 5x + 2 = 2x + 3 − 1 / 20(3x + 4) 20 3x + 4 5

20(3x+4)⋅8x+23−20(3x+4)⋅(5x+2) =20(3x+4)⋅2x+3−20(3x+4)⋅1 20 (3x + 4) 5

(3x + 4)(8x + 23) − 20(5x + 2) = 4(3x + 4)(2x + 3) − 20(3x + 4)

24 x2 + 69x + 32 x + 92 − 100 x − 40 = 4(6 x2 + 9x + 8x + 12) − 60 x − 80 24x2 + x + 52 = 24x2 + 36x + 32x + 48 − 60x − 80

24x2 + x + 52 = 24x2 + 8x − 32

x + 52 = 8x − 32

− 7x = −84

x =12

Como se puede apreciar las ecuaciones fraccionarias con denominadores algebraicos compuestos nos obligan en primer lugar a buscar el mcm de los denominadores y luego multiplicar cada uno de los términos de la ecuación por este mcm; enseguida se simplifican las fracciones, luego se efectúan los productos para finalmente resolver la ecuación que resulta.

Cabe señalar que antes de buscar el mcm conviene factorizar los denominadores si es posible.

10



Ejemplo 2

x−8+x−4=x−5+x−7 x−10 x−6 x−7 x−9

agrupandoconvenientemente y efectuando las sumas a ambos lados

x−8−x−5=x−7−x−4

x−10 x−7 x−9 x−6

(x −8)(x − 7) − (x −5)(x −10) = (x − 7)(x − 6) − (x − 4)(x − 9)

(x −10)(x −7) (x −9)(x−6) x2−15x+56−(x2−15x+50) = x2−13x+42−(x2−13x+36)

(x −10)(x − 7) (x − 9)(x − 6) x2−15x+56−x2+15x−50= x2−13x+42−x2+13x−36

(x−10)(x−7) 6=6

(x−10)(x−7) (x−9)(x−6) luego

( x − 9)( x − 6) = ( x − 10)( x − 7) x2 − 15x + 54 = x2 − 17x + 70

− 15x + 54 = −17x + 70 17x −15x= 70−54

(x−9)(x −6)

2x=16

x=8

Esta ecuación también puede ser resuelta usandoel siguiente artificio La ecuación puede ser escrita en la forma

(x −10) + 2 + (x − 6) + 2 = (x − 7) + 2 + (x − 9) + 2

x − 10 x − 6 x − 7 x − 9 de donde tenemos

1+ 2 +1+ 2 =1+ 2 +1+ 2

x − 10 x − 6 x − 7 x − 9

simplificando

2+2=2+2 x−10 x−6 x−7 x−9 factorizando

2 1 + 1 =2 1 + 1   x − 1 0 x − 6   x − 7 x − 9 

dividiendopor 2

1+1=1+1 x−10 x−6 x−7 x−9

arreglandoconvenientemente 1−1=1−1 x-10 x−7 x−9 x−6



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