Ecuaciones cuadráticas-clase de fraccionarias
Naila PeñaResumen7 de Septiembre de 2016
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ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Una ecuación de segundo grado es una ecuación que puede reducirse a la forma general
[pic 1]
donde a, b y c son números reales.
Ejemplos: [pic 2] [pic 3]
[pic 4] [pic 5]
Las soluciones de la ecuación son los valores de x que al sustituirlos verifican la igualdad.
Ejemplo: en la ecuación [pic 6]
El valor [pic 7] no es solución porque [pic 8]
El valor [pic 9] si es solución porque [pic 10]
Ejercicios:
- Escribe cada una de las siguientes ecuaciones en forma general identificando los coeficientes a b y c
a) [pic 11] | b) [pic 12] | c) [pic 13] |
d) [pic 14] | e) [pic 15] | f) [pic 16] |
g) [pic 17] | h) [pic 18] | i) [pic 19] |
(Soluciones: a)[pic 20] b)[pic 21] c)[pic 22] d)[pic 23]
e)[pic 24] f) [pic 25] g)[pic 26] h) [pic 27] i) [pic 28]
- Decir en cada ecuación si los valores que se proponen son solución o no de la ecuación
a) [pic 29]; [pic 30]
b) [pic 31]; [pic 32]
c) [pic 33]; [pic 34]
(Sol: a) no, si, no si b) no, si, no, no c) si, no, no, no )
- En la ecuación [pic 35], una solución es 3. ¿Cuánto vale c? (Sol: [pic 36])
- En la ecuación [pic 37], una solución es 5 ¿Cuánto vale b? (Sol: [pic 38])
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETAS
Si en la ecuación [pic 39] alguno de los coeficientes b o c es nulo, se dice que es una ecuación incompleta y se pueden resolver directamente:
- si [pic 40] entonces la ecuación queda [pic 41] y la solución es [pic 42]
- si [pic 43] entonces la ecuación queda [pic 44]; y se denomina ecuación cuadrática incompleta pura y se resuelve utilizando una de dos formas.
Ejemplo
[pic 45] [pic 46] [pic 47]; [pic 48] | [pic 49] [pic 50] [pic 51] [pic 52] [pic 53] [pic 54] |
- si [pic 55] entonces la ecuación queda [pic 56]; Esta forma se denomina ecuación cuadrática incompleta mixta.
Ejemplo
[pic 57]
[pic 58];
[pic 59] y [pic 60]
[pic 61]
[pic 62]
[pic 63]
Ambos factores se igualan a cero basados en la siguiente propiedad del cero:
Si y son números reales entonces si y solo si ó , ó ambos.[pic 64][pic 65][pic 66][pic 67][pic 68]
Ejercicios:
Resuelva las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas
a) [pic 69] | b) [pic 70] | c) [pic 71] | d) [pic 72] |
e) [pic 73] | f) [pic 74] | g) [pic 75] | h) [pic 76] |
i) [pic 77] | j) [pic 78] | k) [pic 79] | l) [pic 80] |
m) [pic 81] | n) [pic 82] |
(Sol: a)[pic 83] b)[pic 84] c)[pic 85] d)[pic 86] e) [pic 87] f) [pic 88] g)[pic 89] h) [pic 90]
i)[pic 91] j) [pic 92] k) [pic 93] l)[pic 94] m)[pic 95] n) [pic 96]
RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN COMPLETA POR LA FÓRMULA GENERAL
La ecuación de segundo grado [pic 97] se dice que está completa cuando todos los coeficientes son distintos de cero. En este caso las soluciones se obtienen aplicando la fórmula: [pic 98]
El valor del radicando de [pic 99] permite saber el número de soluciones sin necesidad de hallarlas. [pic 100] se llama discriminante.
si D es positivo, tiene dos soluciones (signo +, signo -)[pic 101]
[pic 102] si D es cero, tiene una solución (solución doble)[pic 103][pic 104]
si D es negativo, no tiene soluciones reales.
Ejemplo: [pic 105] en esta ecuación [pic 106] y aplicando la fórmula[pic 107]
[pic 108]
[pic 109][pic 110][pic 111][pic 112][pic 113]
- Calculando el discriminante, indicar el número de soluciones de las siguientes ecuaciones:
a)[pic 114] | b) [pic 115] | c) [pic 116] |
d) [pic 117] | e) [pic 118] | f) [pic 119] |
g) [pic 120] | h) [pic 121] | i) [pic 122] |
j) [pic 123] | k) [pic 124] | l) [pic 125] |
(Sol: a)2 b)1 c)0 d)1 e)2 f)2 g)0 h)1 i)0 j)2 k)2 l)0 )
- Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado por los tres métodos.
a) [pic 126] | b) [pic 127] | c) [pic 128] |
d) [pic 129] | e) [pic 130] | f) [pic 131] |
g) [pic 132] | h) [pic 133] | i) [pic 134] |
j) [pic 135] | k) [pic 136] | l) [pic 137] |
(Sol: a) 3,5 b)[pic 138] c)[pic 139] d) no tiene e)[pic 140] f)[pic 141] g)[pic 142] h)[pic 143] i)[pic 144] j)[pic 145] k)[pic 146] l)[pic 147]
...