Ejercicios De Programacion Matematica

METODO GRAFICO

PRESENTACION

Algunas veces, en las primeras clases del curso de Investigación de Operaciones nos llevamos solo por el deseo de realizar un modelo matemático que trate de reflejar la realidad a través de una Función Objetivo y algunas restricciones, pero como las ganas de seguir aprendiendo hace que surjan nuevas preguntas . Un buen día interrogamos a nuestro profesor acerca de la solución que debe tener todo modelo, él como siempre sonriente y con una expresión de misterio nos dijo:” Creo que ya es el momento de que tengan algunas respuestas a algunos modelos que han podido resolver en sus primeras clases”, felices por este anuncio es que nos propusimos a poner atención a sus palabras y sacar el mejor provecho a los conocimientos de nuestro profesor, que sin saberlo se volvía cada vez mas respetado por nosotros.

Claro que yo no me perdí ninguna clase acerca de gráficas, pero como siempre llegó el día del examen, llegue temprano ,confiado me senté adelante y cuando el profesor empezó a dictar las preguntas acerca de gráficas yo con voz baja decía: esta vez me lo hago todo el examen, !pero que sorpresas tiene la vida! ninguna de las gráficas dictadas se parecían a las que resolvimos en clase , que se va hacer ,otra vez aquel personaje noble, sereno y casi enigmático volvía a ganar.

Entendí el mensaje, se tiene que investigar y como te lo dije en el primer libro , aún sigo investigando y todavía me encuentro con algunas cosas que parecieran fáciles a primera vista pero que necesitan algún desarrollo especial.

Es por eso que ahora, en este segundo libro quiero darte a conocer como solucionar gráficamente los modelos matemáticos que se elaboran en un modelo de programación lineal, será necesario primero hacer una introducción de como realizar las gráficas, dar a conocer los diferentes tipos de gráficos, los casos especiales que podemos encontrar y además ingresar a explicar los resultados a los modelos graficados.

Como vez, tenemos una gran aventura que realizar , espero que me acompañes y que este libro te sea de mucha utilidad para que afiances mas tus conocimientos en cuanto a la Investigación de Operaciones.

No quisiera dejar de aprovechar la oportunidad para rendir el merecido reconocimiento y agradecimiento a mis amigas y amigos de las diferentes universidades de la ciudad de Trujillo que a través de todos estos años me han dado la oportunidad de ser participe de sus esperanzas y sueños en su camino a ser profesional y poder estar juntos en nuestras charlas de estudio, Gracias por su confianza

CAPITULO I

COMO GRAFICAR

1.- METODO GRAFICO

Indudablemente plasmar un modelo y tratar de resolverlo gráficamente tiene una limitación muy grande, sólo se pueden resolver modelos que tengan sólo dos variables( bidimensional ) ya que contamos con un plano formado por X1 y X2 que es la región en la cuál vamos a trabajar, se podría tener la posibilidad de trabajar con modelos que tienen tres dimensiones pero ser-->[Author:SJV]ía muy tedioso ( sin embargo en la parte final de este libro realizaremos algunos ejemplos para resolver estos tipos de modelos).

Vamos entonces a desarrollar modelos relativamente pequeños pero que sean provechosos para cumplir con los objetivos que deseamos alcanzar , los cuales son familiarizarnos con una representación geométrica de un modelo lineal y llegar a tener algunas respuestas importantes a algunas interrogantes que nos vamos a plantear a través del desarrollo del tema.

2.- PASOS PARA RESOLVER MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL MEDIANTE GRAFICAS

Se va a tener que llevar un orden para poder resolver un modelo, supongamos que tenemos el siguiente problema planteado:

Ejemplo 1.-

Maximizar = 4 x1 + 9 x2

sujeto a:

5x1 + 8x2 <= 50

6x1 + 5x2 <= 60

8x1 - 5x2 <= 40

x1>=0, X2>=0

Los pasos que tenemos que seguir son los siguientes:

1.- TODA RESTRICCIÓN DEBE CONVERTIRSE A IGUALDAD, SEA CUAL SEA SU ORIENTACIÓN

Aplicando este primer paso a nuestro ejemplo:

5x1 + 8x2= 50

6x1 + 5x2 = 60

8x1 + 5x2 = 90

2.- SE DEBE DESPEJAR LAS VARIABLES EN CADA UNA DE LAS RESTRICCIONES, COLOCANDO A UNA DE LAS VARIABLES EL VALOR DE CERO Y DESPEJANDO LA OTRA.

En nuestro ejemplo:

Para la primera restricción:

5x1 + 8x2 = 50

Si x1= 0 , la restricción queda:

5(0) + 8x2 = 50

despejando x2= 50/8

Entonces agrupando en par ordenado: (x1,x2) = ( 0,50/8) ,

Luego si x2=0, la restricción queda:

5x1 + 8(0) = 50

despejando x1 = 50/5Entonces agrupando en pares ordenados: (x1,x2) = ( 50/5,0)

Para la segunda restricción:

6x1 + 5x2 = 60

si X1=0. La restricción queda:

6(0) + 5x2 = 60

despejando x2= 60/5

entonces agrupando en pares ordenados: (x1,x2) = (0,60/5)

Luego ,si x2=0, la restricción queda

6x1 + 5(0) = 60

despejando : x1= 60/6

entonces agrupando en pares ordenados: ( x1,x2)=(60/6,0)

Para la tercera restricción:

8x1 +5x2 = 40

si x1=0 , la restricción queda:

8(0) + 5x2 = 40

despejando:

x2 = 40/5

entonces agrupando en pares ordenados: (x1,x2) =(0, 40/5)

Luego, si x2=0, la restricción queda:

8x1+5(0)=40

despejando: x1= 40/8

entonces agrupando en pares ordenados: (x1,x2) =(40/8,0)

3.- REALIZAR LA GRÁFICA.

Teniendo los pares ordenados podemos realizar la gráfica ya que por cada restricción tenemos dos puntos, los cuales al unirse nos darán las líneas rectas que son las representaciones geométricas de las restricciones.

(x1,x2) = ( 0,50/8=6.23) , (x1,x2) =(50/5=10,0)

(x1,x2) = (0,60/5=12) , (x1,x2) =(60/6=10,0)

(x1,x2) =(0, 40/5=8) , (x1,x2) =(40/8= 5,0)

x2 12

( I I )

11

10

9

8 ( III )

7

6

5

( I )

4

3

2

1

X1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

4.- ORIENTACIÓN

La parte mas importante en la gráfica es la orientación, para este caso vamos a tomar en cuenta las siguientes condiciones generales de acuerdo a los tipos de restricciones que se tiene:

Restricción Orientación

<= Se acerca al origen

= Se conserva la restricción como una línea

>= Se aleja del origen

Debemos aclarar que estas orientaciones sirven para restricciones que contengan las dos variables, lado derecho positivo y con valores numéricos diferentes de cero( casos diferentes lo trataremos posteriormente) .

Entonces nuestra gráfica queda:

x2 12

( I I )

11

10

9

8 ( III )

7

6

...