El Saff Y Sus Sistemas

Componentes de un SAF

Sistemas anteriores. Casos paradigmáticos: lógica y aritmética. Los conceptos de los sistemas anteriores se aluden en tanto su poder operativo y su verdad material. Intento de reducir todos los sistemas anteriores a la misma teoría axiomatizada, para que sea autosuficiente. (cf. infra)

Vocabulario. ¿Lenguaje natural o lenguaje formal?

Términos lógicos. Dependen de la lógica subyacente: conectivas y cuantificadores, (signos auxiliares).

Términos no lógicos. Variables y constantes de individuo, predicado, etc.

Primitivos: los que aparecen en los axiomas. Definición por postulados, definición implícita (Gergonne). El único significado/sentido de los términos es el asignado por sus relaciones. A veces sólo podemos establecer un significado relacional, no explícito. Los postulados no son valuables, son sólo funciones proposicionales.

Definidos. Son definidos en función de los términos primitivos, que son aquellos que aparecen en los axiomas o postulados.

Reglas de formación. Se trata de reglas sintácticas que especifican aquellas fórmulas que son parte del sistema, a las que se denomina fórmulas bien formadas. Cfr. Lógica, definición recursiva de fórmula.

Reglas de transformación. Se trata de las reglas lógicas utilizadas en las demostraciones, que permitirán el paso de los axiomas a los teoremas. Propiedad: Las reglas pueden o no ser correctas, i.e., transmitir además de la teorematicidad la verdad semántica. Si las reglas son correctas, todos los teoremas son también tautologías. Por ej., modus ponens.

Axiomas. Finitos en la teoría clásica, hoy infinitos (cfr. teorema de Craig, no todos los axiomas son factibles de sistematizarse en axiomas esquema). Axiomas esquema; evitan la cuantificación de segundo grado (cfr. principio de inducción matemática en la axiomatización peaniana de la aritmética).

Teoremas Infinitos.

Sistemas equivalentes. La indefinibilidad y la indemostrabilidad no son propiedades absolutas. Dos sistemas son equivalentes cuando cualquier proposición del uno pueden ser demostrada con ayuda de las del otro, y viceversa, e igual para indefinibles.

Sistemas debilitados. Incluyen más, demuestran menos.

Sistemas saturados. No admiten más postulados independientes.

Semántica

Interpretación. (Función interpretación: I: L ---> D; a cada cte de L se le asigna una entidad de D -real o imaginaria). Versión más amplia: asigna no entidades, sino meramente significado. Puede no hacer verdaderos a todos los axiomas.

Modelo. Realización concreta de la axiomática. Hace verdaderos a todos los axiomas.

Modelos isomorfos. Igual estructura lógica. Ejemplo Nagel: figuras, nombres y números.

Propiedades de un sistema axiomático.

Consistencia. Los sistemas inconsistentes no revisten interés. Toda fórmula tiene prueba: EFSQ.

-Pruebas de consistencia

Relativa. Oración condicional: interpretación del sistema cuya consistencia se quiere probar en uno cuya consistencia se supone.

Absoluta.

Semántica. Encontrar un modelo. Si tiene modelo, es consistente. ¡Ojo! Sólo en un sistema completo es cierto que "si es consistente, tiene modelo" (formulación del teorema de completitud).

Sintáctica. Existe una fórmula que no es teorema.

Completitud. Dadas dos proposiciones contradictorias, al menos una es teorema. Versión semántica: en un sistema completo, todas las tautologías son teoremas.

Decidibilidad. Existe un procedimiento algorítmico para probar si una fbf es o no teorema del sistema.

Categoricidad. En presencia de una fbf cualquiera, es posible demostrarla o refutarla.

Satisfacibilidad. Es posible encontrar una interpretación que haga verdaderos a los axiomas. (Modelo).

Independencia de los axiomas y de los términos primitivos. No es posible definirlos en función de los otros.

Pruebas de independencia.

Sintáctica. El postulado no es teorema del sistema.

Semántica. Existe un modelo que hace verdaderos a los otros axiomas y falso a ése. 2.8. Ejemplos de SAF’s

La aritmética de Peano (1889). Consta de sólo 5 axiomas y tres términos primitivos

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