El concepto de variabilidad

INTRODUCCION

El concepto de variabilidad juega un papel clave dentro de la Estadística. Si los hechos no se repitieran o se repitieran sin variación, la Estadística casi no tendría razón de ser; pero la realidad es que la mayoría de los fenómenos se repiten y lo hacen mostrando variaciones de mayor o menor intensidad; de ahí la importancia que tiene la Estadística en el mundo moderno, al suministrarle al hombre procedimientos válidos y confiables para analizar esos hechos que se repiten y hacer inferencias acerca de ellos a pesar de la variabilidad que presentan.

Básicamente, al analizar un conjunto de datos, se tienen en mente dos objetivos:

a) por una parte, se trata de descubrir las irregularidades que puedan existir en él y de resumirlas a través de un valor típico (un promedio por ejemplo);

b) por otra, se procura establecer la medida en que los datos se concentran o se dispersan alrededor de ése valor típico, o sea, la importancia de las desviaciones de los elementos individuales respecto a ese valor representativo escogido para caracterizar al grupo.

No solo basta con determinar las medidas de tendencia central para comprender el comportamiento de una serie de datos, es importante además, conocer que tan alejados están esos datos respecto a ese punto de concentración.

Las medidas de dispersión nos indican la distancia promedio de los datos respecto a las medidas de tendencia central. Así podremos diferenciar dos conjuntos de datos que poseen iguales medias, siendo los datos de uno más dispersos del otro.

MEDIDAS DE DISPERSION

Las medidas de dispersión, también llamadas medidas de variabilidad, muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos.

Desviación media (Dm): Equivale a la división de la sumatoria del valor absoluto de las distancias existentes entre cada dato y su media aritmética y el número total de datos.

Dm = ∑_(i=1)^n▒|Xi- X ̅ |/n

Se debe hacer la distinción que para datos poblacionales (no agrupados), la fórmula quedaría:

La variación para los datos agrupados en tablas tipo B radica en cambiar el valor de Xi por la marca de clase correspondiente, multiplicando esa distancia por su frecuencia:

Para las tablas tipo A solo cambiaremos la marca de clase por su respectivo valor

de clase (representada por Xi):

Ejemplo: Desviación media para datos no agrupados

Tres alumnos son sometidos a una competencia para probar sus conocimientos en 10 materias diferentes, cada una sustentada con 10 preguntas. La idea del concurso es encontrar al alumno más idóneo para representar al colegio en un torneo a nivel nacional.

El número de preguntas buenas por materia se muestra a continuación:

SOLUCIÓN

Lo primero que analizaremos es la media de los puntajes para cada uno de los alumnos, con el fin de determinar el alumno con mayor promedio de preguntas buenas.

Las medias para los resultados de los alumnos coinciden: los tres alumnos tienen responden en promedio 5 preguntas correctas por prueba. ¿Cuál sería entonces el indicador diferenciador entre los alumnos? Complementemos el análisis anterior calculando la desviación media:

Carlos muestra una desviación media de 3,9 indicando que los datos se alejan en promedio de la media en 3,9 preguntas buenas. Pedro disminuye su variación (2,1), siendo Juan el que menos variación presenta con 0,9 preguntas tanto por arriba como por debajo de la media aritmética. Se recomienda al colegio elegir como ganador en este caso a Juan, presenta resultados más constantes que los otros dos alumnos, Juan en promedio acierta 5 preguntas buenas con una variación muy baja (rondando entre 4 y 6).

Ejemplo: Desviación media para datos agrupados

Una maquina dispensadora de gaseosas está programada para llenar un envase con 350 c.c. de un refresco popular. A partir de una muestra de prueba realizada sobre 30 envases se realizó la siguiente tabla de frecuencia:

Calcular e interpretar la desviación media.

SOLUCIÓN

PASO 1: Calcular la media aritmética.

PASO 2: Calcular la desviación media.

Dm = 8,8

La desviación media es de aproximadamente 8,8 c.c. Concluimos que con datos suministrados de una muestra, el dispensador llenó los 30 envases con un promedio de 157,095 c.c. con una desviación media de 8,8 c.c. La desviación media describe un rango de dispersión promedio de llenado del dispensador, ubicándolo entre 148,295 c.c. (equivale a restar la media a la desviación media) y 165,895 c.c. (sumar una desviación media a la media aritmética).

LA VARIANZA

Otra forma para asegurar que las diferencias entre la media y los puntos de un valor positivo, es elevándola al cuadrado. Al promedio de estas distancias al cuadrado se le conoce como varianza.

Varianza (S2 o s2): Es el resultado de la división de la sumatoria de las distancias existentes entre cada dato y su media aritmética elevadas al cuadrado, y el número total de datos.

Distinguimos dos símbolos para identificar la varianza: S2 para datos muéstrales, y σ^2 para datos poblacionales. Note que la fórmula para la varianza muestral presenta en su denominador al tamaño de la muestra menos uno, tendencia adoptada por los estadísticos para denotar una varianza más conservadora.

Al igual que ocurre con la desviación media,

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