Elementos De Un Triangulo

Elementos del triángulo

El triángulo es el polígono más simple y también el más fundamental, ya que cualquier polígono puede resolverse en triángulos; por ejemplo, trazando todas las diagonales a partir de un vértice, o, más en general, uniendo todos los vértices con un mismo punto interior al polígono.

Un triángulo tiene elementos primarios y elementos secundarios.

Los elementos primarios corresponden a los vértices, lados, ángulos interiores y ángulos exteriores.

Los elementos secundarios corresponden a la altura, bisectriz, simetral, transversal de gravedad y mediana.

Elementos primarios de un triángulo

Vértices

Son los puntos de origen de los segmentos.

Se nombran con letras mayúsculas: A, B, C ... Z.

Lados

Son los segmentos de la poligonal. Se designan por las dos letras de sus extremos coronadas por un pequeño trazo:

— — — — —

AB, BC, CA, ... XY, YZ

o por una letra minúscula (a, b, c) que corresponde a la letra que nombra el vértice opuesto (A, B, C).

Ángulos interiores

Son aquellos formados por cada par de lados consecutivos del triángulo. Se denominan por las tres letras mayúsculas de los vértices o por una letra griega ubicada entre los lados del ángulo.

En los problemas se usan las últimas letras del alfabeto en minúscula para designar incógnitas.

Ángulos exteriores

Son los ángulos formados por un lado del triángulo y la prolongación de otro hacia la región exterior.

Se nombran generalmente por la letra del ángulo interior adyacente con un subíndice.

Elementos secundarios de un triángulo

Las líneas notables del triángulo o sus elementos secundarios son:

alturas (h) bisectrices (b) simetrales (s)

transversales de gravedad (t) medianas

Alturas

Son segmentos perpendiculares (segmentos que forman ángulos de 90º) a un lado o a su prolongación desde el vértice opuesto. La altura se designa con la letra h y un subíndice que señala el lado del cual se levanta.

Un triángulo tiene tres alturas, una por cada lado (ha, hb, hc).

El punto O donde concurren las tres alturas se llama Ortocentro (O).

El lado y su altura forman un ángulo de 90º.

Bisectrices

Es la recta que dimidia un ángulo; es decir, es la recta que divide un ángulo en su mitad.

Un triángulo tiene 3 bisectrices, uno por cada ángulo y se designan normalmente por la letrab y un subíndice que señala el respectivo ángulo interior.

El punto O donde concurren las tres bisectrices se llama incentro. El incentro corresponde alcentro de una circunferencia inscrita en el triángulo.

Simetrales o Mediatrices

Corresponden a rectas perpendiculares a cada uno de los lados del triángulo en su punto medio.

Las tres simetrales se cortan en un punto llamado (O) circuncentro. La circunferencia pasa por los tres vértices.

Siempre debe tenerse en cuenta que:

Si existe una simetral, existe un ángulo recto y un punto medio.

La simetral no siempre pasa por el vértice opuesto.

En todo triángulo se puede circunscribir una circunferencia cuyo centro es el circuncentro.

Transversales de gravedad

Es el segmento trazado desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto. Todo triángulo tiene tres transversales de gravedad, una por cada lado y se designan normalmente con la letra t y un subíndice que señala el lado (ta, tb, tc ).

El punto donde se intersectan las tres simetrales se llama baricentro y se representa con la letra G.

Medianas

Son los segmentos que unen directamente los puntos medios de dos lados del triángulo, de dos en dos.

La mediana se designa con la letra m y un subíndice que indica el lado sobre el cual se proyecta.

La mediana tiene una longitud igual a la mitad del lado paralelo.

FD = ½ AC; DE = ½ AB; EF = ½ CB

Al trazar las tres medianas de un triángulo, éste queda dividido en cuatro triángulos congruentes.

Ángulos en un triángulo

Los ángulos que se forman en un triángulo se relacionan entre sí cumpliendo con las siguientes propiedades o características:

1.- La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos; es decir, suman 180º.

En la figura, α + γ + ε = 180º. Recordar que γ = β y que ε = δ por ser ángulos alternos internos.

2.- La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es igual a 90º.

En la figura, α + β = 90º

3.- En todo triángulo, la medida de un ángulo externo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no contiguos (opuestos).

En la figura, β = α + ε

4.- En todo triángulo la medida de un ángulo externo es mayor que la de cualquier ángulo interior no adyacente.

En la figura,

β > (es mayor que) α

β > (es mayor que) e

5.- La suma tres ángulos exteriores de cualquier triángulo vale cuatro ángulos

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