Espacios vectoriales.Es una estructura la cual nos permite desde un conjunto vacío crear una operación interna

Espacio vectorial

Es una estructura la cual nos permite desde un conjunto vacío crear una operación interna  a la cual le llamamos suma y una operación externa a la cual le llamamos producto entre dicho conjunto y cuerpo, debemos tener en cuenta las bases de los espacios vectoriales ya que todas estas bases tienen la misma cardinalidad.

Los espacios vectoriales tienen 10 reglas que son muy importantes para todos los vectores u, v, w  en V y en todos los escalares c y d.

1. La suma de u y v, denotada por u + v, está en V

2. u + v = v + u

3. (u + v)+ w = u + (v + w)

4. Existe un vector 0 en V tal que u + 0 = u

5. Para cada u en V, existe un vector –u en V tal que u + (-u) = u.

6. El múltiplo escalar de u por c, denotado cu, está en V

7. c (u + v) = cu + cv

8. (c+ d) u = cu + du

9. c (du) = (cd) u

10. 1u=u

Subeespacios vectoriales

Son los subconjuntos de los espacios vectoriales donde las cuales deben cumplir ciertas funciones específicas. Un subespacio vectorial V que es un subconjunto de H y V que tiene las siguientes propiedades:

1. El vector cero de v está en [pic 1]
2. H es cerrado cuando se da la suma de vectores esto es, para cada  u, v, que se encuentra en H donde la suma de U+ V se encuentran en H.
3. H es cerrado cuando se da la multiplicación por escalares esto es para cada U que se encuentra en H y cada escalar C, el vector CU también se encuentra en H

Conjunto generador e independencia lineal

Conjunto generador: sean todos los vectores dados se pueden expresar estos como una combinación lineal en un conjunto dado que llamaremos “S” de este modo decimos que el conjunto dado es un generador en un espacio vectorial sea “S” (v1, v2, v3, v4, v5………v) el conjunto “S” podemos decir que es un generador de “V” y cuando esto se da tenemos una combinación lineal de vectores en “S”

Independencia lineal: un vector puede ser linealmente independiente cuando ninguna de ellos pueda ser escrito con una combinación lineal en los vectores sobrantes supongamos que tenemos un conjunto de vectores v1, v2, ,v3,…..v para que estos vectores sean linealmente independientes deben existir unos números a1, a2, a3,…..a para que pueda ser independencia lineal pero también debemos tener en cuenta que para que esto se cumpla los escalares deben ser nulos de lo contrario sería una dependencia lineal.

Base y Dimensión

Base: la base es un espacio o subespacio vectorial de dicho sistema generador de espacio y es muy importante que sea independiente lineal supongamos que tenemos:

(v1, v2. v3…v) primero que todo tiene que ser linealmente independiente

(v1, v2, v3…v) esta genera a “V”

Propiedades:

1. La base de V es un sistema generador mínimo del mismo  
2. Es un conjunto linealmente independiente máximo de V
3. La base de V permite expresar todos los vectores de V como combinación lineal de manera única para cada vector.

Dimensión: es el número de vectores que forman una base por lo tanto la dimensión es el máximo números de vectores independientes los cuales los podemos obtener en un espacio o subespacio.

Propiedades:

1. Todos los elementos de S pertenecen al espacio vectorial v
2. Los elementos de S siempre forman un sistema linealmente independiente
3. El sistema generador de un espacio vectorial siempre debe de contener una base vectorial
4. El espacio vectorial linealmente independiente puede ser extendido a una bese

Rango

Son el número de columnas que son linealmente independientes donde el rango de una columna y el rango de una fila siempre van hacer iguales la dimensión que genera la filas de una matriz se le denomina rango por fila e igual este proceso se le hace a la dimensión de columnas pero debemos tener en cuenta cuando nos dan una matriz mxn que son el número de no nulas de una matriz escalonada.

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