Espiral de Arquímedes, espiral logarítmica y Volutas

Espiral de Arquímedes, espiral logarítmica y Volutas.

La Espiral de Arquimedes, obtuvo su nombre del matemático siciliano Arquímedes, quien vivió en el siglo III antes de Cristo. Se define como el lugar geometrico un punto que se desplaza de manera uniforme a lo largo de una recta, a la vez que esta gira alrededor de uno de sus extremos con velocidad angular constante.

Son multiples las aplicaciones que ha tenido la espiral de Arquimedes dentro del mundo tecnico, por ejemplo los muelles de espiral que servían para dar cuerda a muchos reloges, los surcos que se grababan en los discos de vinilo, etc.

Otro tipo de curva que suele confundirse mucho con la espiral es la Voluta, aunque en realidad se tratan de conceptos diferentes. La voluta es una curva compuesta por arcos de circunferencia, tangentes entre sí, siendo los centros de los arcos los vertices de un segmento o poligono dado. Por tanto partiendo se un segmento se obtendrá la voluta de dos centros, partiendo de un triangulo la voluta de tres centros, de un cuadrilatero voluta de cuatro centros y así sucesivamente.

La Espiral de Arquimedes es tambien conocida como espiral aritmética pero existen además otras espirales cuyas construcciones no veremos todas por ser más matemáticas que geométricas.

- La espiral logarítmica, se distingue de la espiral de Arquímedes por el hecho de que las distancias entre sus brazos se incrementan en progresión geométrica, mientras que en una espiral de Arquímedes estas distancias son constantes.

- La espiral hiperbolica, que es la inversa de la espiral de Arquimedes.

- La espiral parabolica o de Fermat, en honor a su descubridor.

Trazado de la espiral de Arquimedes conociendo el paso.

1.- Dividimos el segmento cuya longitud es igual al paso de la espiral deseada en un nº cualquiera de partes iguales, por ejemplo doce, ver división de un segmento en un número de partes iguales , y se trazan desde uno de los extremos las circunferencias concentricas que pasan por todas las divisiones. Cuantas más divisiones mas puntos se obtendran para poder trazar la espiral.

2.- Se dividen las circunferencias en el mismo nº de partes iguales y se trazan los radios respectivos. Ver división de una circunferencia en un numero de partes iguales.

3.- Las intersecciones de cada radio con sus arcos corresspondientes nos determinan los puntos de la espiral.

Trazado de la espiral logarítmica.

En esta curva se comprueba que el movimiento de traslación no es uniforme, sino que sigue una progresión geométrica, de tal modo que el paso es variable.

Para su construcción se trazan dos ejes perpendiculares entre sí, obteniéndose el punto O donde se cortan.

1.- Se traza un triángulo rectángulo ABO, cuyos catetos formen con la hipotenusa los ángulos que se quieren dejar constantes durante el recorrido del punto generador. Partimos del triángulo escogido ABO.

2.- Por el punto B se traza una perpendicular a la hipotenusa AB, lo que determina sobre el otro eje el punto C por el que, a su vez, se traza otra perpendicular al segmento BC, obteniéndose el punto D sobre el otro eje, y así sucesivamente.

3.- Se trazan las mediatrices de los segmentos que contienen los puntos A, B, C, D, etc., y donde éstas corten a las bisectrices de los ángulos rectos que forman la línea poligonal definida por ellos, se obtienen los centros O1, O2, O3, etc., de los diferentes arcos de circunferencia que configuran la espiral. Descritos éstos con sus radios particulares O1A, O2B, O3C, etc., y unidos convenientemente, dan como consecuencia la construcción de la espiral como puede apreciarse en la Figura.

La espiral de Durero.

En 1525, tres años antes de morir, el genial pintor renacentista y gran enamorado de las Matemáticas, Alberto Durero (1471-1528) publica una obra titulada "Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas". Es un precioso libro en el que pretende enseñar a los artistas, pintores y matemáticos de la época diversos métodos para trazar diversas figuras geométricas.

En esta obra Durero muestra cómo trazar con regla y compás algunos espirales y entre ellas una que pasará a la historia con su nombre: la Espiral de Durero.

Hay que esperar más de 18 siglos para que, esta vez un artista con grandes dotes matemáticas, nos proporcione los métodos para dibujar otro tipo más complejo de espirales, las espirales basadas en el crecimiento gnómico, es decir, las que se obtienen la encajar de forma recurrente, figuras geométricas semejantes y unir sus vértices. Especial atención le van a merecer las espirales relacionadas con la sucesión de Fibonacci y con el número áureo.

A pesar de su gran amor por las matemáticas, como muestra en su cuadro Melancolía, plagado de metáforas matemáticas, Durero es fundamentalmente un pintor. Por eso su obra "Instrucción

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