FORMULARIO BÁSICO DE CÓNICAS DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

FORMULARIO BÁSICO DE CÓNICAS

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Sean  y [pic 1][pic 2]

 = [pic 3][pic 4]

PUNTO MEDIO

Las coordenadas del punto medio de  son:[pic 5]

[pic 6]

RECTA

PENDIENTE

m = [pic 7]

ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA

θ = ang tg [pic 8]

Si θ ε (0o, 90o), la pendiente es positiva, si θ ε (90o, 180o), la pendiente es negativa.

ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE

y – y1 = m (x – x1)

ECUACIÓN PENDIENTE-ORDENADA AL ORIGEN

y = mx + b

ECUACIÓN DE LA RECTA CON DOS PUNTOS CONOCIDOS

        - = [pic 9][pic 10][pic 11]

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

Ax + By + C = 0

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Sean el punto P(x1,y1) y la recta Ax + By + C = 0

[pic 12]

el signo del radical es opuesto al signo de C.

Si d es positiva, el punto y el origen están a uno y otro lado de la recta. Si d es negativa, se localizan en el mismo lado.

RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPENDICULARES

Sean las rectas L1 y L2 con pendientes m1 y m2. 

1.- L1 y L2 son paralelas si y sólo si      [pic 13]

2.- L1 y L2 son perpendiculares si        [pic 14]

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS

Sean las rectas L1 y L2 con pendientes m1 y m2. El ángulo α medido en sentido contrario a las manecillas del reloj, desde L1 a L2 es

[pic 15]

CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN[pic 16]

x2 + y2 = r2

CIRCUNFERENCIA CON CENTRO   C(h,k)

[pic 17]

(x – h)2 + (y – k)2 = r2

ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA

X2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

Sea el indicador        N = D2 + E2 – 4F

• Si        N > 0 la ecuación representa una circunferencia con centro C( -D/2 , -E/2) y radio  r= ½ [pic 18]
• Si        N = 0 la ecuación representa un punto de coordenadas ( -D/2 , -E/2)
• Si        N < 0 la ec. representa ningún lugar geométrico
  

PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE X

y2 = 4px[pic 19][pic 20]

F( p,0 )

L:     x = -p

LR = |4p|

Si        p es positiva, la parábola abre hacia la derecha

        p es negativa,  abre hacia la izquierda

PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE Y

x2 = 4py[pic 21][pic 22]

F( 0,p )

L:     y = -p

LR = |4p|

Si        p es positiva, la parábola abre hacia arriba

        p es negativa,  abre hacia abajo

PARÁBOLA CON VÉRTICE V(h,k) Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE X[pic 23]

(y – k)2 = 4p (x – h)[pic 24]

F( h+p , k )

L:     x = h - p

LR = |4p|

Si        p es positiva, la parábola abre hacia la derecha

        p es negativa,  abre hacia la izquierda

PARÁBOLA CON VÉRTICE V(h,k) Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y

(x – h)2 = 4p (y – k)[pic 25][pic 26]

F( h , k+p )

L:     y = k - p

LR = |4p|

Si        p es positiva, la parábola abre hacia arriba

        p es negativa,  abre hacia abajo

ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA

A x2 + C y2 + Dx + Ey + F = 0

Representa una parábola cuando cumple las siguientes condiciones:

1.- Si   A = 0, C ≠ 0 y D ≠ 0   (C y2 + Dx + Ey + F = 0) la ecuación representa una parábola con eje focal coincidente o paralelo al eje x.

2.- Si   A ≠ 0, C = 0 y E ≠ 0   (A x2 + Dx + Ey + F = 0) la ecuación representa una parábola cuyo eje focal es coincidente o paralelo al eje y.

ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE X[pic 27]

x2 + y2 = 1        a > b

a2    b2[pic 28]

c = √ a2 – b2[pic 29]

F1 ( -c,0 )        F2 ( c,0 )

V1 ( -a,0 )        V2 ( a,0 )

ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE Y[pic 30]

x2 + y2 = 1        a > b

b2    a2

F1 ( 0,-c )        F2 ( 0,c )

V1 ( 0,-a )        V2 ( 0,a )

EN AMBOS CASOS

LR =        2b2

          a

e =        c   < 1

        a

ELIPSE CON CENTRO C( h,k ) Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE X[pic 31]

( x - h )2 + (y - k )2 = 1                a > b

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