FUNCIONES

Desarrollo

F:[-2, 2]→[8,16] definida por f(x)- 3x^2 + 2x

Creciente en el intervalo [a,b] si x_1<x_2

Demostración x_1<x_2 (desigualdad1) con x_1, x_2€

[-2,2]

x_1<x_2/ ()²

x_1<x_2^2

x_1^2<x_2^2/ *3

3 * x_1^2< 3 * x_2^2

3x_1^2 < 3x_2^2 desigualdad 2

Desigualdad 1

x_1<x_2/ * 2

2 * x_1 < 2 * x_2

2x_1< 2 x_2 → desigualdad 3

Restas las desigualdades 2 y 3 para ir formando la función

3x_1^2 < 3 x_2^2

2x_1 < 2x_2

3 x_1^2 + 2 x_1< 3x_2^2 + 2x_2 / -1

3 x_1^2 + 2 x_1-1 < 3x_2^2 + 2x_2-1

F(x_1)< f (x_2)⇒f es creciente

B) uno a uno si f (x_1) = f x_2)⇒ x_1= x_2

f (x_1) = f (x_2)

3 x_1^2 + 2 x_1= 3x_2^2 + 2x_2

3 x_1^2 - 3x_2^2 -2 x_1 - 2x_2= 1- 1

(3 x_1^2 - 3x_2^2 ) + (-2 x_1 - 2x_2 ) = 0

3(x_1^2- x_2^2) – 2 (x_1- x_2) = 0

3* (x_1- x_2) (x_1+ x_2) + 2 (x_1- x_2)= 0

(x_1- x_2)[3 * (x_1+ x_2) – 2 ]= 0

(x_1- x_2) ( 3 x_1 + 3 x_2 – 2) = 0

x_1- x_2=0 3 x_1 + 3 x_2 – 2 ⇒esta ecuacion no tiene solucion

x_1≥-2,2 + ⇒x_1+ x_2 ≥1

x_2≥-2,2

x_1+ x_2 ≥1

3 x_1 + 3 x_(2 )≥ 3 * 1

3 x_1 + 3 x_(2 )≥ 3

3 x_1 + 3 x_(2 )-2 ≥ 3 – 2

3 x_1 + 3 x_(2 )-2 ≥ 1

Por lo tanto, la solución es la hallada anteriormente

x_1= x_2

Entonces f es uno a uno

C.- Determine su inversa ( 1 punto)

“ y “ por f(x) (b±√(b^2-4.a.c))/(2.a)

Y= 3x^2 + 2x

0 = 3x^2 - 2x – y

X = (-2±√(〖(-2)〗^2-4.3.( 1-y)))/(2.3)

x = (-2±√(4-12( 1-y)))/6

x = (-2±√(4-12+12y))/6

x = (-2±√(12y-8))/6

finalmente sustituimos “y”

por “x” y “x” por f -1 ( x)

f -1 (x) = (2±√(12y-8))/6

...