FUNCIONES

Función. Es un caso particular de las relaciones en las que: a todo elemento de un conjunto A le corresponde exactamente un solo elemento del conjunto B.

Dominio. Se llama dominio de la relación R al conjunto de las primeras ordenadas que pertenecen a A X B.

Contradominio. Se llama contradominio de la relación R al conjunto de las segundas ordenadas que pertenecen a A X B.

2.1 Definición de función real de una variable real

Sean X y Y conjuntos de números reales. Una función real f de una variable real x de X a Y es una correspondencia que asigna a cada número x de X exactamente un número y de Y.

El dominio de f es el conjunto X. El número y es la imagen ( o contra dominio ) de x por f y se representa por , a lo cual se le llama el valor de f en x. El recorrido o rango de f se define como el subconjunto de Y formado por todas las imágenes de los números de X.

La regla debe tener las propiedades siguientes:

Primera: Ningún elemento del dominio puede quedar sin asociado en el contra dominio.

Segunda: Ningún elemento del dominio puede tener más de un asociado en el contra dominio. Esto no excluye que varios elementos del dominio tengan al mismo asociado en el contra dominio.

Función Inyectiva. También llamada unívoca, cuando a cada elemento del contra dominio le corresponde sólo un elemento del dominio, sin importar que sobren en el contra dominio.

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Función Sobreyectiva. También llamada suprayectiva, cuando a todo elemento del contra dominio le corresponde uno o más elementos del dominio, no deben sobrar elementos en el contra dominio.

Función Biyectiva. También llamada biunívoca, si todo elemento del contra dominio es imagen de uno y solamente un elemento del dominio. Es una combinación de las funciones inyectivas y sobreinyectivas

2.2- Regla de correspondencia dada por una ecuación.

c) La expresión no define una función puesto que hay dos valores de "y" para cada valor positivo de "x"; pero la expresión sí es una relación.

d) La expresión no define una función. sin embargo, en todos los textos de cálculo diferencial se indican múltiples ejercicios en que debe derivarse una expresión como sigue: ; y lo que sucede es que se deriva considerando al radical únicamente con el signo positivo.

2.3 Clasificación de las funciones por su naturaleza: algebraicas y trascendentes.

2.3.1 Función polinomial.

Una función P(x) recibe el nombre de polinomio si

donde "n" es un entero no negativo y los números son constantes llamadas coeficientes del polinomio. El dominio de cualquier polinomio es . El grado de una función, por ejemplo es un polinomio de grado 6.

Un polinomio de primer grado es de la forma y por tanto es una función lineal. Un polinomio de segundo grado es de la forma y se llama función cuadrática. La gráfica de una función cuadrática siempre es una parábola. Un polinomio de tercer grado es de la forma y se llama función cúbica.

2.3.2 Función racional.

Una función racional "f" es una razón de dos polinomios donde P y Q son polinomios. El dominio consta de todos los valores de x tales que . Un ejemplo simple de una función racional es , cuyo dominio es cualquier valor para . La función es una función racional con dominio cualquier valor de .

2.3.3 Función raíz.

La función es una función raíz. Para n = 2, es una función raíz cuadrada , cuyo dominio es y cuya gráfica es la mitad superior de la parábola . Para n = 3, tenemos la función cúbica , cuyo dominio es el conjunto de los números reales

2.3.4 Función trigonométrica.

Suponemos que ha estudiado trigonometría y que está familiarizado con las definiciones de las funciones trigonométricas basadas en ángulos y triángulos rectángulos. Sin embargo, aquí estamos más interesados en las funciones trigonométricas basadas en el círculo unitario. Cuando las consideramos en esta forma, su dominio son conjuntos de números en vez de conjuntos de ángulos.

Sea C un círculo unitario. Designe con A el punto ( 1, 0 ) y sea "t" cualquier número positivo. Entonces, habrá exactamente un punto P(x, y) sobre C tal que la longitud de arco AP, medido en la dirección contraria a las manecillas del reloj desde A y sobre el círculo unitario, sea "t". La circunferencia de C es ; de modo que si , se recorrerá más de una vuelta completa del círculo unitario al trazar el arco AP. Si t = 0, P = A.

En forma similar, si , habrá exactamente un punto P(x, y) en el círculo unitario tal que la longitud del arco AP, medido en el sentido de las manecillas del reloj sobre C sea .

Definición. Si "t" determina un punto P(x, y) como se indicó anteriormente, entonces .

2.3.5 Función exponencial.

Son las funciones de la forma , donde la base "a" es una constante positiva. En las siguientes figuras se presentan las gráficas de . En los dos casos, el dominio es y el recorrido es .

2.3.6 Función logarítmica.

Son las funciones , donde la base "a" es una constante positiva. Son las funciones inversas de las funciones exponenciales. En la siguiente figura se encuentran las gráficas de cuatro funciones logarítmicas con distinta base. En cada caso el dominio es , la imagen es y la función crece con lentitud cuando .

2.3.7 Función definida parte por parte. ( o por mas de una ecuación )

No es necesario que una función este definida por una sola fórmula. El siguiente es un ejemplo de función definida por secciones.

Al trazar la gráfica de la función definida por secciones

Solución. Nótese que f no representa tres funciones sino más bien, a una función cuyo dominio es el conjunto de números reales. Sin embargo, la gráfica de f consta de tres secciones obtenidas trazando, a su vez,

la gráfica de y = -1 para x < 0

el punto (0, 0) y

la gráfica de y = x + 2 para x > 0

Función Valor Absoluto.

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