Funciones

FUNCION

Una función es una correspondencia entre los elementos de un conjunto de partida, llamado Dominio, y los elementos de un conjunto de llegada, llamado Codominio, de forma tal que a cada elemento del dominio le corresponde uno, y solo uno, en el codominio.

FUNCION LINEAL.- Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio son también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

Una función es un tipo especial de relación en la que a cada elemento en un conjunto (llamado dominio) le corresponde exactamente un elemento en un segundo conjunto (llamado el rango).

Las funciones lineales son funciones de dominio real y codominio real, cuya expresión analítica es f: R —> R / f(x) = a.x+b con a y b números reales.

La representación gráfica de dichas funciones es una recta, en un sistema de ejes perpendiculares

GRAFICA DE LA FUNCION LINEAL.- Su grafica es una recta que pasa por el origen de las coordenadas (0,0)

Y=X

Ejercicios

f(x) = 2x − 1

Es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, −1). Su gráfica es una recta ascendente.

f(x) = 2x − 1

FUNCIÓN CONSTANTE ⇒ Y = N

La fórmula de la función constante es: y = n

La pendiente de la recta m = 0, no es ni creciente ni decreciente

No hace falta hacer tabla de valores la recta vale siempre n

Representar la siguiente recta y = 3

La pendiente de la recta es 0, n = 3

Gráfica

FUNCIONES CUADRATICA.- Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma: f(x) = ax2 + bx + c

Donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.

Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola, el signo del coeficiente principal a determina si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

Forma factorizada

Toda función cuadrática se puede escribir en forma factorizada en función de sus raíces como:

Siendo a el coeficiente principal de la función, y y las raíces de . En el caso de que el discriminante Δ sea igual a 0 entonces por lo que la factorización adquiere la forma:

En este caso a se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2.

Forma canónica

Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

A esta forma de expresión se la llama forma canónica (o reducida). Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola. Para llegar a esta expresión se parte de la forma polinómica y se realiza el procedimiento llamado

Completando el cuadrado:

Se extrae a como factor común en el término cuadrático y en el lineal.

Se completa el trinomio cuadrado perfecto, sumando y restando para no alterar la igualdad.

Se factoriza formando el cuadrado de un binomio.

sustituyendo:

la expresión queda:

. Representación Grafica

Corte con el eje y

La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0):

lo que resulta:

La función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el término independiente de la función.

A este punto de la función también se lo conoce con Ordenada al Origen

Corte con el eje x La función corta al eje x cuando y vale 0, dada la función:

Se tiene que:

Las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen, como es sabido, por la expresión:

.

Si la función no corta al eje x, la fórmula anterior no tiene solución (en los reales).

Extremos o vértices Toda función cuadrática posee un máximo o un mínimo, que es el vértice de la parábola. Si la parábola tiene concavidad hacia arriba, el vértice corresponde a un mínimo de la función; mientras que si la parábola tiene concavidad hacia abajo, el vértice será un máximo.

Dada la función en su forma desarrollada: , la coordenada x del vértice será simplemente:

x=(-b)/2a

y=(c-b^2)/4a

Ejercicios.

f(x) = x2 -2 x - 3.

x -1 0 1 2 3 4

f(x) 0 -3 -4 -3 0 5

Completando la gráfica obtengo:

FUNCIONES EXPONENCIALES.-Las funciones f y g no son iguales. La función f(x) = x2 es una función que tiene una variable elevada a un exponente constante. Es una función cuadrática que fue estudiada anteriormente.

La función g(x) = 2x es una función con una base constante elevada a una variable esta es un nuevo tipo de función llamada función exponencial.

Definición: Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = bx , donde b y x son números reales tal que b > 0 y b es diferente de uno.

El dominio es el conjunto de todos los números reales y el recorrido es el conjunto de todos los números reales positivos.

Para toda función y=a^x, donde a >0 y a≠1

El dominio de la función es (-∞,∞)

El rango de la función es (0,∞)

La grafica pasa por los puntos (0,1) y (1,a)

f(x) = 2x

Propiedades de f(x) = bx, b>0, b diferente de uno:

Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1).

Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos.

El eje de x es la asíntota horizontal.

Si b > 1 (b, base), entonces bx aumenta conforme aumenta x.

Si 0 < b < 1, entonces bx disminuye conforme aumenta x.

La función f es una función uno a uno.

FUNCIONES LOGARITMICAS.- Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas. Como la notación f-1 se utiliza para denotar una función inversa, entonces se utiliza otra notación para este tipo de inversas. Si f(x) = bx, en lugar de usar la notación f-1(x), se escribe logb (x) para la inversa de la función con base b. Leemos la notación logb(x) como el “logaritmo de x con base b”, y llamamos a la expresión logb(x) un logaritmo.

Definición:

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