GRADIENTES

GRADIENTES

Son operaciones financieras en las cuales se pacta cubrir la obligación en una serie de pagos periódicos crecientes o decrecientes que cumplen con las siguientes condiciones:

- Los pagon cumplen con una ley de formación.

- Los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo.

- A todos los pagos (rentas) se les aplica la misma tasa de interés.

- El número de pagos y periodos pactados es igual.

La ley de formación, la cual determina la serie de pagos, pueden tener un sinnúmero de variantes; no obstante, en la vida cotidiana las más utilizadas son el gradiente aritmético y el geométrico; las cuales a su vez pueden generar cuotas crecientes o decrecientes.

Las anualidades son casos particulares de los gradientes donde el crecimiento es cero, lo que causa que los pagos sean todos iguales; entocnes igual que el caso de la anualidad los modelos matemáticos que se deducen para el cálculo y el análisis de los gradientes tienen en cuenta las anteriores condiciones por lo cual, es necesario que al momento de aplicarse las fórmulas a situaciones particulares, se asegure que se cumplan dichas condiciones.

1 GRADIENTE ARITMÉTICO

Para el gradiente aritmético, la ley de formación indica que cada pago es igual al anterior, más una constante k; la cual puede ser positiva en cuyo caso las cuotas son crecientes, negativa lo cual genera cuotas decrecientes. En caso de que la constante sea cero, los pagos son uniformes, es decir se tiene el caso de una anualidad.

1.1 LEY DE FORMACIÓN

Considerando que los pagos en cada periodo serán diferentes, entonces estos de identificarán con un subíndice que indica el consecutivo del pago.

De acuerdo a la ley de formación, en este caso cada pago será igual al anterior más una constante, así como se muestra a continuación.

1.2 VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMÉTICO

Para la deducción del modelo matemático se considera una operación en la cual un préstamo Vp se paga en una serie de cuotas formada a través de un gradiente aritmético, a una tasa de interés por periodo i, durante n periodos.

Para calcular el valor presente se utiliza la siguiente fórmula, considerando cada valor de las cuotas A1 + jk y sumando todos los resultados en 0.

Reescribiendo la ecuación se obtiene el siguiente resultado:

De la anterior expresión se puede concluir que la primera parte, las fracciones con numerador A1 corresponde al valor presente de la anualidad y que las otras expresiones tienen como factor común k; de esta forma la ecuación se puede escribir como:

Supongamos que el factor de K es igual F, es decir:

Si multiplicamos la ecuación anterior por (1 + i), entonces se obtiene:

Si se resta F(1 + i), se obtiene:

Reemplazando (b) en (a), se obtiene:

EJEMPLO

 ¿Cuánto cuesta un equipo que se paga mediante una serie de 6 pagos que inician en $80 y que cada mes crecen $20 si se realizan a una tasa de interés anual del 24%?

SOLUCIÓN:

DATOS

Valor del pago inicial: A1 = $ 80

Número de pagos: 6

Tasa de interés: 24% anual

El gradiente tiene un crecimiento de $ 20 000, es decir: K = 20

Tasa de interés mensual = i = J/m = 0.24/12 = 0.02

RESOLUCIÓN

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