GUIA DE TRABAJO No 4: TEOREMA DE BAYES

INSTITUCION EDUCATIVA TRUJILLO AREA DE MATEMÁTICAS GRADO 11

GUIA DE TRABAJO No 4: TEOREMA DE BAYES

El matemático y reverendo Thomas Bayes, (1763) en el siglo XVIII intentó desarrollar una fórmula para evaluar la probabilidad de la existencia de Dios con base en evidencias terrenales. Más tarde fue Laplace quien terminó su desarrollo denominándolo “Teorema de Bayes”.

El teorema de Bayes es un método aplicado generalmente para calcular probabilidades posteriores. Este teorema se aplica cuando se formulan hipótesis a posteriori sobre la probabilidad a priori de eventos ya ocurridos.

La fórmula general aplicable es:

[pic 1]

Una manera sencilla de entender la aplicación de esta formula es utilizar el diagrama de árbol que hemos utilizado anteriormente. Veamos un ejemplo:

SITUACION UNO

Un autor, por intermedio de la editorial envía folletos promocionando su libro de estadística al 72% de los profesores que enseñan la asignatura en las universidades que fueron seleccionadas para la promoción. Un mes después se constató que el 46% que recibieron el folleto compraron el libro y un 16% de los profesores que no recibieron el libro también lo compraron.

¿Cuál es la probabilidad de que un profesor que compra el libro, fue resultado del folleto de promoción?

Solución:

Primero debemos identificar las probabilidades iniciales, que en este caso son los porcentajes de los profesores que reciben y no el folleto de promoción del libro:

• El 72% recibió el folleto, lo cual corresponde a una probabilidad de 0,72. Esto quiere decir que el 28% de los profesores no lo recibió, lo cual corresponde a una probabilidad de 0,28.

De aquí se despende el segundo evento que es las personas que comprarán el libro y las personas que no comprarán el libro:

• De todos los profesores que recibieron el libro, de ese 100%, el 46% lo comprará. En consecuencia, el 54% no lo comprará. Esto corresponde a probabilidades de 0,46 y 0,54 respectivamente.
• De todos los profesores que no recibieron el libro, de ese 100%, 16% lo comprará. En consecuencia, el 84% no lo comprará. Esto corresponde a probabilidades de 0,16 y 0,84 respectivamente.

Esto se resume con el diagrama del árbol:

Profesores de la universidad

Recibieron el folleto 72%

(0,72)

No recibieron el folleto 28%

(0,28)

Comprarán el libro 46% (0,46)

No comprarán el[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]

libro 54% (0,54)

Comprarán el libro 16% (0,16)

No comprarán el libro 84% (0,84)

Siendo A1= Profesor que recibe el folleto y B = Profesor que comprará el libro, aplicamos la formula teniendo en cuenta lo siguiente:

• En el numerador se multiplican las probabilidades directas. Es decir, que el profesor recibe el libro y comprará el libro. (0,72) (0,46)
• En el denominador se multiplican y después se suman las probabilidades asociadas a B. Es decir, todos los que comprarán el libro.

(0,72)(0,46)

𝑃(𝐴1|𝐵) = (0,72)(0,46) + (0,28)(0,16) = 0,8809[pic 10]

Esto quiere decir que hay 88,09% de probabilidad de que un profesor que compró el libro haya sido porque recibió el folleto.

SITUACION DOS

Una empresa de consultoría presenta una oferta para un gran proyecto de investigación. El director de la firma piensa inicialmente que tiene 50% de posibilidades de obtener el proyecto. Sin embargo, más tarde, el organismo al que se le hizo la oferta pide más información sobre la oferta. Por experiencia se sabe que en 75% de las ofertas aceptadas y en 40% de las ofertas no aceptadas, este organismo solicita más información.

Calcule la probabilidad posterior de que la oferta sea aceptada dado que se solicitó más información.

Solución:

Siendo A1= Obtener el proyecto y B = el organismo requiere mas información

[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

Aplicando la fórmula de igual manera que en la situación anterior tenemos:

(0,50)(0,75)

𝑃(𝐴1|𝐵) = (0,50)(0,75) + (0,50)(0,40) = 0,6521[pic 19]

Esto quiere decir que hay un 65,21% de probabilidad de que la empresa obtenga el proyecto, dado que el organismo pidió más información.

NOTA: Si hay mas eventos posteriores entonces, lo único que cambia es que hay que agregar otra multiplicación en el denominador

SITUACION TRES

Una empresa utiliza tres métodos para recuperar la cartera morosa. El 50% es requerido telefónicamente, el 30% es visitado por el cobrador y el 10% por correo. Las probabilidades de que haya cancelación de la deuda o por lo menos abono a la misma, de acuerdo a los tres sistemas son: 0.62; 0.80 y 0.54 respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que la petición de pago haya sido efectiva mediante el correo?

...