Geometria

)Hallar la proyección del punto P(-8, 12) sobre la recta que pasa por los puntos A(2, -3) y B(-5, 1).

Es la intersección de la recta que pasa por A y B con la perpendicular a esta que pasa por en punto P.

1. Hallamos la ecuación de la recta r que pasa por los punto Ay B. El vector director será .

La ecuación continua . En forma general

2. Obtenemos la recta s perpendicular a r que pasa por el punto P. El vector director será . La ecuación continua . En forma general

3. El punto que buscamos es la solución del sistema formado por las rectas r y s.

Cuya solución es

4. Ángulos adyacentes son aquellos ángulos que tienen el vértice y un lado en común, al tiempo que sus otros dos lados son semirrectas opuestas. De allí resulta que los ángulos adyacentes son a la vez consecutivos y suplementarios, porque juntos equivalen a un ángulo llano (180°), sin poseer ningún punto interior en común.1 2 3

5.

6.

7. Otros autores denominan ángulos adyacentes a losángulos consecutivos.

8. En la literatura del tema es posible también encontrar casos donde se denomina como adyacentes a cualquier par de ángulos que compartan el vértice y un lado, aunque no sean suplementarios (es decir, se llaman adyacentes a los ángulos que en otros textos se denominan consecutivos),4 5 quizás debido a la influencia del inglés en donde adjacent angles tiene este significado. Por ello es importante al abordar un texto sobre el tema, tener presente cual es la convención usada. En este artículo se efectúa la distinción, considerando únicamente el caso en que los lados no comunes formen una línea recta, reservando el artículo ángulos consecutivos para la otra acepción

• Los senos de los angulos adyacentes son los mismos, por ejemplo:

sin( 120° ) = sin( 60° )

sin( α° ) = sin( 180° - α° )

sin( α ) = sin( π - α )

• Los cosenos de los ángulos adyacentes son de igual valor absoluto, pero de signo inverso, como muestran los siguientes ejemplos:

cos( 120° ) = - cos( 60° )

cos( α° ) = - cos( 180° - α° )

cos( α ) = - cos( π - α )

9.

Los ángulos suplementarios son aquellos cuya suma de medidas es 180° (grados sexagesimales).

Así, para obtener el ángulo suplementario β de un determinado ángulo α comprendido entre [0,180º], se restará α a 180°, de manera que:

β = 180° – α

En otras unidades de medida del ángulo plano, 180 grados sexagesimales equivalen a π radianes, o 200 grados centesimales y 360 grados sexagesimales equivalen a 2π radianes, o 400 grados centesimales.

• Si dos ángulos son suplementarios de otros dos ángulos congruentes, también son congruentes entre sí.

• Los senos de los angulos suplementarios son los mismos, por ejemplo:

sin( α° ) = sin( 180° - α° )

sin( α ) = sin( π - α )

sin( 120° ) = sin( 60° )

• Los cosenos de los ángulos suplementarios son de igual valor absoluto, pero de signo inverso, como muestran los siguientes ejemplos:

cos( α° ) = - cos( 180° - α° )

cos( α ) = - cos( π - α )

'cos( 120° ) = - cos( 60° )

os ángulos complementarios son aquellos ángulos cuyas medidas suman 90º (grados sexagesimales). Si dos ángulos complementarios sonconsecutivos, los lados no comunes de los dos forman un ángulo recto.

Así, para obtener el ángulo complementario de α, teniendo α una amplitud de 70°, se restará α de 90°:

β = 90° – 70º = 20º

el ángulo β (beta) es el complementario de α (alfa).

Sabiendo esto, dichos ángulos formarán siempre un triángulo rectángulo puesto que los ángulos en un triángulo rectángulo son uno de 90º y los otros dos deben sumar 90 con el del cateto adyacente y se multiplica por la hipotenusa (180º(grados totales de un triángulo)-90º=90º). Por tanto, el seno de α es igual al coseno de β y el seno de β igual al coseno de α puesto que pertenecen al mismo triángulo rectángulo.

La diagonal de un rectángulo también configura ángulos complementarios con los lados adyacentes.

Rectas perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos iguales de90º.

Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares.

Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo.

Rectas paralelas

1 Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son paralelos, es decir, si éstos son linealmente dependientes.

2 Dos rectas son paralelas si tienen sus vectores directores iguales.

3 Dos rectas son paralelas si tienen sus pendientes iguales.

4 Dos rectas son paralelas si los coeficientes de x e y respectivos son proporcionales.

5 Dos rectas son paralelas si forman un ángulo de 0º.

Ejemplos:

1 Calcular una recta paralela a r ≡ x + 2 y + 3 = 0, que pasen por el punto A(3,5).

2 Calcula k para que las rectas r ≡ x + 2y - 3 = 0 y s ≡ x - ky + 4 = 0, sean paralelas.

3 Hallar la ecuación de la recta paralela a r ≡ 3x + 2y -4 = 0, que pasa por el punto A(2, 3).

3 • 2 + 2• 3 + k = 0 k = -12

3x + 2y - 12= 0

4 La recta r ≡ 3x + ny - 7 = 0 pasa por el punto A(3,2) y es paralela a la recta s ≡ mx + 2y - 13 = 0. Calcula m y n.

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