Gradiente

Gradiente

Para otros usos de este término, véase Gradiente (desambiguación).

En cálculo vectorial, el gradiente \nabla f de un campo escalar f es un campo vectorial. El vector gradiente de f evaluado en un punto genérico x del dominio de f, \nabla f(x), indica la dirección en la cual el campo f varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de f en la dirección de dicho vector gradiente. El gradiente se representa con el operador diferencial nabla \nabla seguido de la función (cuidado de no confundir el gradiente con la divergencia, ésta última se denota con un punto de producto escalar entre el operador nabla y el campo). También puede representarse mediante \vec{\nabla} f, o usando la notación \operatorname{grad}(f). La generalización del concepto de gradiente a campos f vectoriales es el concepto de matriz Jacobiana.

Índice [ocultar]

1 Definición

2 Interpretación del gradiente

3 Propiedades

4 Expresión en diferentes sistemas de coordenadas

5 Gradiente de un campo vectorial

6 Ejemplo

7 Aplicaciones

7.1 Aproximación lineal de una función

7.2 Aplicaciones en física

Definición[editar · editar código]

Si se toma como campo escalar el que se asigna a cada punto del espacio una presión P (campo escalar de 3 variables), entonces el vector gradiente en un punto genérico del espacio indicará la dirección en la cual la presión cambiará más rápidamente. Otro ejemplo es el de considerar el mapa de líneas de nivel de una montaña como campo escalar, que asigna a cada pareja de coordenadas latitud/longitud un escalar altitud (campo escalar de 2 variables). En este caso el vector gradiente en un punto genérico indicará la dirección de máxima inclinación de la montaña. Nótese que el vector gradiente será perpendicular a las líneas de contorno (líneas "equiescalares") del mapa. El gradiente se define como el campo vectorial cuyas funciones coordenadas son las derivadas parciales del campo escalar, esto es:

\boldsymbol{\nabla} f(\bold{r}) = \left(\frac{\partial f(\bold{r})}{\partial x_1 }, \dots, \frac{\partial f(\bold{r})}{\partial x_n } \right)

Esta definición se basa en que el gradiente permite calcular fácilmente las derivadas direccionales. Definiendo en primer lugar la derivada direccional según un vector:

\frac{\partial \phi}{\partial \bold{n} }

\equiv \lim_{\epsilon\to 0} \frac{\phi(\bold{r}

- \epsilon \hat{\bold{n}})-\phi(\bold{r})}{\epsilon}

Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por el vector unitario, da la derivada direccional del campo escalar:

\frac{\partial \phi}{\partial \bold{n} } = \bold{n}\cdot \boldsymbol{\nabla}\phi

Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado

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