INVESTIGACION Y EXPOSICION

Proporciones

Se dice que dos magnitudes son proporcionales o guardan proporcionalidad cuando el crecimiento de una afecta al crecimiento de la otra.

Si la relación es positiva -crece una y crece otra; decrece una y decrece la otra- hablamos de proporcionalidad directa (espacio y tiempo, compra y gasto, etc.). En caso contrario, estamos ante la proporcionalidad inversa, en la cual el crecimiento de una magnitud implica el decrecimiento de la otra, y al revés (trabajadores y tiempo que tardan en hacer algo, miopía y vista, comida y hambre, etc.).

Una proporción es una igualdad entre dos razones. Estas dos razones han de ser proporcionales.

El ejemplo anterior es una proporción, puesto que iguala dos razones en forma de fracción.

Las proporciones tienen 4 términos: el primero (numerador de la primera fracción) y el cuarto (denominador de la segunda) se llaman extremos; y el segundo (denominador de la primera fracción) y el tercero (numerador de la segunda) se llaman medios.

En el ejemplo anterior, los medios (en rojo) y los extremos (en azul) serían éstos:

Para que una proporción sea correcta, se debe cumplir que el producto de medios sea igual al producto de extremos. Esta regla se llama Propiedad Fundamental de las Proporciones, y nos sirve para resolver y comprobar si las proporciones son correctas, como veremos más adelante.

Porcentaje

Para calcular un porcentaje o tanto por ciento (%) debemos hacer una regla de tres simple directa. De las cuatro cantidades que la forman, siempre conocemos tres: la cantidad que queremos transformar en tanto por ciento, el total con el que se compara y el total con el que se compara el tanto por ciento (100).

Ejemplo:

En una clase hay 34 niños pero hoy han faltado 13. ¿Qué porcentaje sobre el total ha faltado a clase?

13 -> 34

X --> 100

13 es a 34 lo que X (el porcentaje) es a 100.

Éste sería el planteamiento correcto para este tipo de problemas, en el que la incógnita es el porcentaje sobre cien.

Al resolverlo como una proporción normal, tendríamos que:

X = (100 × 13) / 34 = 38,23 % aproximadamente.

Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una clase de sucesión de números reales en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia. Llamando d a esta diferencia, el término general de la progresión an , que ocupa el número de orden n en la misma, se puede determinar a partir del valor del primero de los términos, a1.

an = a1 + (n - 1) d.

Ejemplo:

Aritméticas se suman encontrando el valor de an

3,6,9,12,15,18,21,24,..........

Progresiones geométricas

Estas progresiones se definen como aquellas en las que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un valor fijo predefinido que se conoce como razón.

El término general an de una progresión geométrica puede escribirse como:

an = a1 × rn-1

Esta fórmula sólo es válida si r ¹ 1, ya que si r = 1 todos los términos de la progresión serían iguales, y la suma sería Sn = a1 × n.

Cuando r > 1, la progresión crece indefinidamente y la suma de sus términos tiende a infinito. En cambio, si r < 1, cada término será menor que el anterior, y la progresión se irá acercando a 0 conforme aumente el número de sus términos. Cuando | r | < 1, puede demostrarse que la suma se convierte en:

Ejemplo:

Geométricas se multiplican encontrando el valor de an

3,9,27,81,243,729,2187,..................

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