IV Olimpiada Colombiana De Matemática Universitaria

IV Olimpiada Colombiana de Matemática Universitaria

Problemas de la Ronda Preparatoria

6 de Mayo del 2000

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Problema 1. (3 puntos)

Demostrar que para cualquier números reales a y b el polinomio

tiene almenos una raíz real positiva.

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Problema 2. (4 puntos)

Consideremos una sucesión {Xn} en la cual x0 = 0, x1 = 1 y xn + 1 = 1/2(xn + xn - 1 ) para n = 1, 2, ... Demostrar que

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Problema 3. (5 puntos)

Un simplex regular n - dimensional es un conjunto de n + 1 puntos d Tal que la distancia entre cualquier par de puntos es la misma. Por eljemplo un simplex regular unidimensional es cualquier segmento de recta, un simplex regular bidimensional es cualquier triángulo equilátero del plano.

¿Para cuales números naturales n entre los números 1, 2 y 3 existe un simplex n-dimensional regular con coordenadas enteras?

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Problema 4 (5 puntos )

Sea f(x) una función real continua en el intervalo [-1,1]. se sabe que

Calcular

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Problema 5. (6 puntos)

(a) Encontrar el menor real positivo r tal que para cualquier entero positivo n existen dos matrices cuadradas de n x n con elementos reales que satisfacen que

donde es la matriz unidad.

(b) Sean A y B dos matrices que satisfacen el sistema anterior para el número r encontrado en la parte (a). Encontrar Ak + Bk para cualquier entrero positivo k .

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Problema 6. (6 puntos)

Sea una función biyectiva, donde es el conjunto de los números naturales. Demostrar que si existe entonces este limite es igual a 1.

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Problema 7. (7 puntos)

Todos los números primos se enumeran en orden creciente:

¿Converge o diverge la serie

Ayuda: Desigualdad de Tchebyshev: Existen dos reales positivos a < b tales que para cualquier n suficientemente grande

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