Ejercicios De Preparacion Para La Olimpiada De Matematicas Nivel Preparatoria

Olimpiada Mexicana de Matemáticas, Yucatán 2007.

Problemario Preparatoria.

Problema 1. Exactamente una de las siguientes afirmaciones acerca del número de mi casa es falsa.

(a) La suma de las cifras del número es 6.

(b) Dos de las cifras de los números son iguales.

(c) El número es menor que 110.

(d) El número es mayor que 40.

(e) El número es primo.

(Nota: Las cifras de un número son los dígitos que lo forman; por ejemplo, las cifras de 2003 son 2, 0, 0 y 3.)¿Cuál es el número de mi casa?

Problema 2. En la siguiente figura el triángulo es equilátero, tiene lado 2 y la semicircunferencia tiene diámetro . ¿Cuánto vale el área sombreada?

A

B C

Problema 3. Llamemos capicúa a un año si el número del año tiene al menos dos cifras y se lee igual al derecho que al revés (por ejemplo, 2002 fue un año capicúa). Un hombre nació un 1° de enero y vivió durante 12 años capicúa.

(a) ¿Cuál es la menor edad que pudo haber tenido cuando murió?

(b) Suponiendo que murió de la edad del inciso (a), ¿en qué años pudo haber nacido?

Problema 4. En un cuadrado 4 4 se hace un corte con una línea recta que lo divide en dos cuadriláteros iguales. Si los cuadriláteros tienen perímetro 13, ¿Cuál es la longitud del lado menor de los cuadriláteros?

Problema 5. Alicia tiene 6 tarjetas y en cada una de ellas está escrito un número entero positivo (algunos de los números pueden ser iguales entre sí). Toma 3 tarjetas y suma los números correspondientes. Al hacer esto con las 20 posibles combinaciones de 3 tarjetas, obtiene 10 veces el resultado 18, y 10 veces el resultado 16. ¿Cuáles son los números de las tarjetas?

Problema 6. La suma de 5 enteros positivos es 100. ¿Cuál es la mayor diferencia que pueden tener los dos más cercanos?

Problema 7. En un pizarrón están escritos todos los enteros del 1 al 10,000 en orden. Se borran los múltiplos de 5 y después todos los múltiplos de 11. De los números que quedan sin borrar, ¿Cuál queda en la posición 2004?

Problema 8. En un cuadrado ABCD de lado 1, P, Q, R, y S son los puntos medios de los lados como se muestra en la figura. Las rectas AQ, BR, CS y DP determinan el cuadrilátero UVWX. Calcula el ángulo UVW y el área del cuadrilátero UVWX.

Problema 9. En un juego de computadora se empieza con un tablero de 3 2 coloreado de blanco y negro, como se indica en la figura .En cada jugada se eligen dos cuadritos que comparten un lado y se les cambia el color de acuerdo a las siguientes reglas:

Negro cambia a rojo, rojo cambia a blanco y blanco cambia a negro.

(a) Describe una forma de convertir el tablero en el tablero en 6 jugadas.

(b) Demuestra que no es posible convertir el tablero en en menos de 6 jugadas.

Figura A Figura B

Problema 10. En una granja rectangular cuadriculada de 20x12 hay perros, gatos y caballo. Los perros ocupan corrales cuadrados de 2 x 2, los gatos ocupan corrales cuadrados de 1 x 1 y los caballos ocupan regiones de área 10(sin importar la forma, pero formados por 10 cuadrados pegados entre sí, de manera que el caballo pueda recorrer todo su espacio sin salirse del corral). Los corrales comparten las bardas pero los perros no pueden estar en corrales pegados (ni siquiera por una esquina) a los de los caballos. Si se sabe que hay el mismo numero n de perros que de caballos, ¿Cuánto es lo máximo que puede valer n?

Problema 11. En la figura, ABCD es un paralelogramo, L es una recta que corta los lados AD y CD del paralelogramo; E, F, G y H son puntos de la recta L tales que AE, BF, DG y CH son todos perpendiculares a L, AE=4, GD=7 y CH=5. ¿Cuánto mide BF?

Problema 12. En cada una de las caras de un cubo se escribió un numero entero positivo y a cada uno de los vértices del cubo se le asignó el producto de los números que aparecían en las caras adyacentes al vértice. Si la suma de los números asignados a los vértices es 70, ¿Cuál es la suma de todos los números que aparecen en las caras?

Problema 13. En la lista de 6 números a, b, c, d, e, f cada uno es la suma de los anteriores a él(por ejemplo d=a+b+c). Si f=7392, ¿Cuánto vale a?

Problema 14. Dos personas A y B juegan alternando turnos y moviendo fichas dentro de las casillas del tablero que muestra la figura. Al principio las fichas están fuera del tablero (marcadas con en la figura). En cada turno el jugador debe mover una ficha hacia la derecha o hacia abajo a una casilla desocupada. En el momento en que una ficha llega a la casilla sombreada el juego termina. Si en ese momento el numero de fichas dentro del tablero es par entonces gana A; si es impar entonces gana B. Considerando que A juega primero y que los dos jugadores juegan apropiadamente (buscando el triunfo), ¿Cuál de ellos ganará?

Problema 15. Una pelota rebota en las paredes marcadas con líneas gruesas en la figura y las distancias son todas de un metro como se indica.

La pelota sale del punto A hacia un punto a distancia d de la orilla de la primera pared. ¿Cómo debe ser d para que la pelota toque todas las paredes. (Recuerda que los rebotes de una pelota en una pared obedecen la siguiente regla: el ángulo de entrada es igual al de salida como indica el esquema).

Problema 16. Encuentra todos los enteros positivos n que satisfacen las tres condiciones siguientes:

i) la suma de las cifras de n es 18,

ii) n + 3600 es un cuadrado perfecto

iii) n <2005

Problema 17. En el triángulo equilátero ABC cada lado mide 2. Las alturas del triangulo se intersectan en el punto H y la distancia de H a cada lado es k. El triangulo XYZ tiene lados paralelos a ABC y las rectas AH, BH y CH cortan a los lados de XYZ en D, E y F, respectivamente. Si H=2k, HE=3k y HF=4k, ¿Cuánto mide el lado del triangulo XYZ?

Problema 18. ¿Cuántos caminos hay del punto A al punto B siguiendo las líneas de la figura si las direcciones permitidas son (es decir cualquier sentido esta permitido salvo ) y no se permite pasar dos veces por el mismo punto?

Problema 19. En una fiesta cada persona saludó a exactamente otras tres personas.

(i) Explica por qué es imposible que a la fiesta hayan asistido exactamente 200 personas.

(ii) Si hubo en total 123 saludos, ¿cuántas personas asistieron a la fiesta?

Problema 20. Se tienen 6 números enteros A, B, C, D, E y F que cumplen C = A × B, D = B × C,

E = C × D y F = D × E (es decir, a partir del tercero, cada uno es el producto de los dos anteriores). Si sabemos que A = 2 y que F = 6 075 000, determina B, C, D y E.

Problema 21. El hexágono regular ABCDEF de la figura tiene área 2001 y P es la intersección de las rectas AF y CE. Calcula el área del triángulo AEP.

Problema 22. Para un entero , un triángulo equilátero de lado se divide en triángulos equiláteros de lado 1 como se ilustra en la figura (para n = 4). Decimos que dos triangulitos de éstos son vecinos si comparten ya sea un lado o un vértice. Se quiere escribir los números del 1 al en los triangulitos (uno en cada triangulito) de tal manera que números que estén escritos en triangulitos vecinos no tengan el mismo residuo al dividirlos entre 5. ¿Para qué valores de es esto posible?

Problema 23. Una rueda tiene a su alrededor 128 casillas numeradas en forma consecutiva del 1 al 128. Una pulga va saltando de una casilla a otra siguiendo la siguiente regla: Cuando está sobre la casilla con número N puede saltar únicamente a cualquiera de las dos casillas que están separadas N casillas de esa misma (por ejemplo, cuando está en la casilla 3, sus dos posibilidades de salto son a la casilla 6 o a la casilla 128). Determina todas las casillas donde puede haber iniciado sus saltos la pulga de tal manera que, sin importar cómo haya ido saltando, al terminar su quinto salto se puede asegurar que est´a en la casilla 128 (tal vez no por primera vez).

Problema 24. Con 125 cubitos de lado 1 se forma un cubo grande de lado 5. Muestra una manera de poner en cada cubito un número entero de tal forma que todas las sumas por filas (ve la descripción aquí abajo) sean iguales pero no todos los 125 números sean iguales.

Aclaraciones:

(a) Vas a escribir 125 números en total. Puedes repetir números, pero entre los 125 debe haber al menos dos distintos.

(b) Se considera fila cualquier hilera de 5 cubitos alineados que lleve una dirección paralela a alguno de los lados del cubo. En otras palabras, hay en total 75 filas;

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