Integración por partes, integrales impropias, sustituciones trigonometrica

Introducción

En el presente trabajo se explicará conceptos con ejemplos de algunos de los temas básicos en Matemáticas como lo son Límites en funciones, funciones continuas, Integrales de varios tipos, hallar el área entre curvas, entre otras.

Estos conceptos, de múltiples aplicaciones, ofrece una gran resistencia a los estudiantes universitarios, que lo aprenden sin darle significado y restringiéndose a cálculos algebraicos y a la aplicación de criterios de convergencia.

Objetivos

Objetivos generales:

• Explicar de manera didáctica el tema de los diversos tipos de integrales

Objetivos Específicos:

• Analizar las diferentes situaciones en los que sea necesario utilizar los métodos o formulas.

• Comprender que es límite de funciones.

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Integración por parte.

El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

∫ f(x) g'(x)dx = f(x) g(x) − ∫ f'(x) g(x)dx

Definición:

Existen varios métodos de integración, consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una integrada conocida, como por ejemplo una de las de la tabla, o bien reducirla una integral más sencilla.

El método de integración por partes está basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuación

d(u·v) = u dv + v du

por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si.

∫d(u·v) = ∫u dv + ∫v du

Se llama integración por partes porque la integral se divide en dos partes: en una el integrando es u y otra en la otra es v. La integral debe estar completa y sin alterar la operación dentro de ella. Consejos:

1.- La función correspondiente a dv debe ser la función más fácil de integrar, 2.- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logarítmicas e inversas), luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva. Las funciones trigonométricas y exponenciales son más sencillas de trabajar.

Ejemplo:

Integral de f(x) = x cos(x)

Resolución:

Sea v' = cos(x). Entonces, v se obtiene integrando:

[pic 1]

Sea u = x. Derivando, u' = 1.

Aplicando la fórmula,

[pic 2]

Integración por sustitución trigonométricas

Las sustituciones que involucran funciones trigonométricas se pueden llevar a cabo en aquellas integrales cuyo integrando contiene una expresión de la forma:

[pic 3]

La sustitución trigonométrica permite transformar una integral en otra que contiene funciones trigonométricas cuyo proceso de integración es más sencillo.

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