Integrales Por Sustitucion

 INTEGRALES POR SUSTITUCION

El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación. Vale la pena resaltar que este método se utiliza cuando no se mira a simple vista su primitiva directa.

Si es una función derivable cuyo alcance es un intervalo I y f es contínua en I en tal caso:

Se puede definir este método en cuatro pasos importantes:

1. Identificar la función a sustituir, es decir Identificar "u" .

2. Determinar el diferencial de "u" ("du").

3. Reescribir el integral ya sustituido.

4. Integrar.

Ejemplo siguiendo los pasos para integral por sustitución

1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

Se despeja u y dx, sustituyendo en la integral:

2º Si la integral resultante es más sencilla, procedemos a integrar:

3º Se vuelve a la variable inicial:

 PROCEDIMIENTO PRÁCTICO

Supongamos que la integral a resolver es:

En la integral reemplazamos con ( ):

(1)

Ahora necesitamos sustituir también para que la integral quede sólo en función de :

Tenemos que por tanto derivando se obtiene

Se despeja y se agrega donde corresponde en (1):

Simplificando:

Debemos considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una manera más sencilla dado que la primitiva del coseno es el sin uso i de| seno.

Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva debemos modificar los límites de integración. Sustituimos x por el límite de integración y obtenemos uno nuevo.

En este caso, como se hizo :

(límite inferior)

(límite superior)

Luego de realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una forma final:

Facilitación de método:

Para poder identificar que una integral se puede solucionar con este método, lo más sencillo de hacer es ver si es una función compuesta, un ejemplo de una función compuesta es 2*cos (x^2), sabiendo que la función interna de la compuesta siempre va a ser "u". Una vez identificado la función interna se procede a derivarse para poder saber si se

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