Intervalo De Confianza Para La Diferencia De Dos Proporciones.

Intervalo de Confianza para la Diferencia de dos Proporciones.

La Estimación de un intervalo expresa la amplitud dentro de la cual probablemente se encuentra un parámetro poblacional. El intervalo dentro del que se espera esté un parámetro poblacional, por lo general se denomina intervalo de confianza.

Antes de explicar cómo se calcula el intervalo de confianza para la diferencia de dos proporciones debemos conocer primero la forma de estimar el intervalo de confianza de una proporción poblacional y así lograr un mayor entendimiento del tema.

Estimación del Intervalo de Confianza de una Proporción (Recorderis).

Para la estimación del intervalo de confianza de una proporción, debemos realizar previamente una estimación puntual que es un número (denominado punto) que se emplea para estimar un parámetro poblacional.

La proporción de la población puede estimarse utilizando una proporción muestral. Si p es la proporción poblacional desconocida y p ̅ es la proporción muestral, la estimación puntual para la proporción de población es:

p ̅= (Número de éxitos en la muestra)/(Número muestreado)=x/n

Supóngase que 100 de las 400 personas muestreadas afirmaron que prefieren un nuevo refresco que aprobaron, en comparación con el que consumen regularmente. La mejor estimación de la proporción de la población que está a favor de la nueva bebida es de 0.25, o 25%, que se obtiene dividiendo 100/400. Obsérvese que una proporción se basa en un conteo del número de éxitos en relación con el número total muestreado.

Ahora bien, ¿Cómo se estima el intervalo de confianza para una proporción de la población?

Respuesta: El Intervalo de Confianza se estima de esta manera:

p ̅ ± zσ_p ̅

Donde σ_p ̅ es el error estándar de la proporción:

σ_p ̅ = √((p(1-p))/n) =√((p ̅ (1- p ̅))/n)

Por tanto, el intervalo de confianza se establece mediante:

p ̅ ± z √((p(1-p))/n) → ( p) ̅ ± z √((p ̅ (1- p ̅))/n)

Donde:

p ̅ es la proporción muestral.

z es el valor z del grado de confianza seleccionado.

n es el tamaño de la muestra.

p es la proporción de la población.

Esta ecuación presenta una dificultad para la estimación por intervalo, debido a que un parámetro poblacional, en este caso p, debe conocerse para poder calcular dicho intervalo. La solución a este problema es usar una estimación muestral en lugar de un valor poblacional para formar el intervalo. La proporción de la muestra, p ̅ , se usa como una estimación de la proporción poblacional desconocida, p. Esta sustitución causa un pequeño error en el proceso de estimación.

Un ejemplo sencillo sería:

Un fabricante de reproductores de discos compactos utiliza un conjunto de pruebas amplias para evaluar la función eléctrica de su producto. Todos los reproductores de discos compactos deben pasar todas las pruebas antes de venderse. Una muestra aleatoria de 500 reproductores tiene como resultado 15 que fallan en una o más pruebas. Encuentre un intervalo de confianza de 90% para la proporción de los reproductores de discos compactos de la población que no pasan todas las pruebas.

Solución:

n=500

p ̅ = 15/500 = 0.03

z (0.90) = 1.645

P =p ̅ ±z √((p ̅ q)/n) =

0.0175<P<0.0425

Se sabe con un nivel de confianza del 90% que la proporción de discos defectuosos que no pasan la prueba en esa población esta entre 0.0175 y 0.0425.

Estimación del Intervalo de Confianza para la Diferencia de dos Proporciones.

Luego de haber aprendido como obtener el intervalo de confianza de una proporción poblacional podemos proseguir a conocer como se obtiene el intervalo de confianza para la diferencia de dos proporciones.

La manera de proceder para obtener el intervalo de confianza para la diferencia de dos proporciones es igual que en el de intervalos de una proporción con la salvedad de que ahora se trata de dos poblaciones.

Los límites para el intervalo de una diferencia de proporciones correspondientes a dos muestras independientes son:

donde el símbolo zα/2 es el valor crítico, prob(Z > zα/2) = α/2, y corresponde a un intervalo de confianza 1 − α %.

De la curva normal estándar podemos escribir:

Donde:

z= ((p ̅_1- p ̅_2 )-(P_1- P_2))/√((P_1 q_1)/n_1 +(P_2 q_2)/n_2 )

Despejando P1-P2 de esta ecuación:

P_1- P_2= (p ̅_1- p ̅_2 ) ±z √((P_1 q_1)/n_1 +(P_2 q_2)/n_2 )

Se tiene el mismo caso que en la estimación de una proporción, ya que al hacer el despeje nos queda las dos proporciones poblacionales y es precisamente lo que queremos estimar, por lo que se utilizarán las proporciones de la muestra como estimadores puntuales:

P_1- P_2= (p ̅_1- p ̅_2 ) ±z √((P_1 q_1)/n_1 +(P_2 q_2)/n_2 )

Ejemplos:

Se considera cierto cambio en un proceso de fabricación de partes componentes. Se toman muestras del procedimiento existente y del nuevo para determinar si éste tiene como resultado una mejoría. Si se encuentra que 75 de 1500 artículos del procedimiento actual son defectuosos y 80 de 2000 artículos del procedimiento nuevo también lo son, encuentre un intervalo de confianza de 90% para la diferencia real en la fracción de defectuosos entre el proceso actual y el nuevo.

Solución:

Sean P1 y P2 las proporciones reales de defectuosos para los procesos actual y nuevo, respectivamente. De aquí, p1=75/1500 = 0.05 y p2 = 80/2000 = 0.04. con el uso de la tabla encontramos que z para un nivel de confianza del 90% es de 1.645.

P_1- P_2= (p ̅_1- p ̅_2 ) ±z √((P_1 q_1)/n_1 +(P_2 q_2)/n_2 ) =

-0.0017<P1-P2<0.0217

Como el intervalo contiene el valor de cero, no hay razón para creer que el nuevo procedimiento producirá una disminución significativa en la proporción de artículos defectuosos comparada con el método existente.

Un artículo relacionado con la salud, reporta los siguientes datos sobre la incidencia de disfunciones importantes

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