INTERVALOS DECONFIANZA Y PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA DOS PARÁMETROS

CAPÍTULO 8

INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA DOS PARÁMETROS

8.1 Intervalos de confianza para una diferencia de medias, una diferencia de proporciones y un cociente de varianzas

Existen ocasiones en que nuestro estudio involucra dos poblaciones y necesitamos compararlas por medio de un intervalo de confianza. Para hacer esto, tomamos una muestra de cada una de las poblaciones y, dependiendo del tipo de medición que efectuemos y de las características del estudio, construimos intervalos de confianza para una diferencia de dos medias, o una diferencia de proporciones, o bien, un cociente de varianzas. Iniciaremos con el caso de una diferencia de medias, donde las muestras pueden ser independientes o dependientes.

8.1.1 Intervalos de confianza para una diferencia de medias (muestras independientes).

El procedimiento básico para construir intervalos de confianza para una diferencia de medias, cuando las muestras son independientes, es el siguiente: 1. Partimos de dos poblaciones que etiquetamos como ‘población I’ y ‘población II’, las cuales siguen una distribución normal. 2. Seleccionamos una muestra aleatoria de tamaño n1 de la población I y, de manera independiente, escogemos una muestra de tamaño n 2 de la población II. 3. Calculamos las medias muestrales. En caso de no conocer las varianzas 2 2 poblacionales σ 12 , y σ 2 , calculamos las varianzas muestrales s12 y s 2 . Consideraremos sólo el caso en que las varianzas poblacionales son desconocidas, pero podemos suponerlas iguales. 4. Para construir el intervalo de confianza para la diferencia de medias poblacionales, 2 cuando conocemos las varianzas σ 12 y σ 2 , utilizamos el estadístico

Z=

(X

1

− X 2 ) − (µ 1 − µ 2 )

σ 12

n1

+

2 σ2

,

n2

el cual sigue una distribución normal estándar. Estadística 101

Capítulo 8: Intervalos de Confianza y Prueba de Hipótesis para dos parámetros

5. Cuando las varianzas poblacionales son desconocidas pero podemos suponerlas 2 homogéneas, utilizamos en su lugar los estimadores S 12 y S 2 , y un estimador de ambas varianzas poblacionales será

2 Sp =

(n1 − 1)S 12 + (n 2 − 1)S 22

n1 + n 2 − 2

.

El estadístico que usaremos, en este caso, para construir el intervalo de confianza para la diferencia de medias es

T=

(X

1

− X 2 ) − (µ 1 − µ 2 )

(S )

2 p

1 1 + n1 n 2

,

que sigue una distribución t de Student con n1 + n 2 − 2 grados de libertad. 6. En consecuencia, para deducir el intervalo del 100(1 − α )% de confianza para la diferencia de medias, en poblaciones normales, con varianzas conocidas y muestras independientes, partimos de que

P(− z1−α / 2 ≤

(X

1

− X 2 ) − (µ 1 − µ 2 )

σ

2 1

n1

+

σ

2 2

≤ z 1 −α / 2 ) = 1 − α ,

n2

y siguiendo los pasos que se describieron en capítulo 6 para la deducción del intervalo de confianza para una media, obtenemos el intervalo de confianza siguiente:

P(( X 1 − X 2 ) − z1−α / 2

σ 12

n1

+

2 σ2

n2

≤ µ 1 − µ 2 ≤ ( X 1 − X 2 ) + z1−α / 2

σ 12

n1

+

2 σ2

n2

) = 1 − α.

Para el caso de varianzas desconocidas, pero supuestas homogéneas, partimos de la ecuación

P(−t 1−α / 2, n1 + n2 − 2 ≤

(X

1

− X 2 ) − (µ 1 − µ 2 )

2 Sp

1 1 + n1 n 2

≤ t1−α / 2, n1 + n2 − 2 ) = 1 − α ,

102

Gudelia Figueroa Preciado – Marco Antonio Valencia Arvizu

Capítulo 8: Intervalos de Confianza y Prueba de Hipótesis para dos parámetros

y llegamos, finalmente, a que el intervalo del 100(1 − α )% de confianza para µ 1 − µ 2 está dado por

2 P(( X 1 − X 2 ) − t1−α / 2, r S p

1 1 + n1 n 2

2 ≤ µ 1 − µ 2 ≤ ( X 1 − X 2 ) + t1−α / 2, r S p

1 1 + n1 n 2

) = 1−α,

donde r = n1 + n 2 − 2 . Por ejemplo, se desea comparar el consumo promedio de agua, por mes, en dos colonias de una ciudad. Por registros en archivos y estudios previos, se sabe que el consumo de agua en la colonia I se distribuye normalmente con una desviación estándar de 5 metros cúbicos, y en la colonia II, la distribución es también normal pero con desviación estándar de 6 metros cúbicos. Si se toma una muestra aleatoria de 15 casas de la colonia I y se obtiene un consumo promedio mensual de 58 metros cúbicos, mientras que en 18 casas de la colonia II, el consumo promedio mensual fue de 52 metros cúbicos, obtenga un intervalo al 99% de confianza para la diferencia en el consumo promedio. Como se tienen poblaciones normales y conocemos su desviación estándar, utilizaremos el intervalo de confianza dado por

P(( X 1 − X 2 ) − z1−α / 2

σ 12

n1

+

2 σ2

n2

≤ µ 1 − µ 2 ≤ ( X 1 − X 2 ) + z1−α / 2

σ 12

n1

+

2 σ2

n2

) = 1−α .

Así, si 1 − α = 0.99 , entonces z1−α / 2 = z 0.995 = 2.575 . Sustituyendo la información que tenemos en la fórmula anterior, obtenemos

(58 − 52) ± 2.575

y así, finalmente, el intervalo es:

52 62 + , 15 18

(1.07, 10.93),

de donde podemos concluir que el consumo promedio mensual de la colonia I es mayor que el consumo promedio mensual de la colonia II. Veamos, por otra parte, el ejemplo siguiente: Un sicólogo trata de comparar el tiempo promedio, entre niños y niñas, que les toma armar un rompecabezas de madera. Por estudios previos que ha efectuado, sabe que estos tiempos se distribuyen normalmente y que se puede suponer igualdad de varianzas. Se cronometraron los tiempos que 20 niños tardaron en armar el rompecabezas y se obtuvo un tiempo promedio

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