Prueba de hipótesis con dos muestras

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Instituto Tecnológico Superior de San Pedro de las Colonias Coahuila

Estadística Inferencial 1

Unidad 4

Prueba de hipótesis con dos muestras

Angel Osvaldo Sanchez Collazo

Ingeniería en gestión empresarial

4F

San Pedro de las Colonias Coahuila a 29/04/20

Introducción

Se verá lo que es la prueba de hipótesis al tener dos tipos de muestras aleatorias para poder estimar o comprobar las hipótesis que vayamos a establecer al realizar los ejercicios propuestos, dichas muestras se tomaran de una población que deseamos comprobar las hipótesis para asi llegar a un conclusión la cual sería aceptar, rechazar o cambiar las hipótesis que hayamos establecido antes.

Una prueba de hipótesis consiste en comparar dos hipótesis estadísticas y de esa comparación se tomará una decisión acerca de las hipótesis, esa decisión consiste en aceptar o rechazar unas hipótesis a favor de la otra, una vez que se tiene eso una de las hipótesis será denotada por la letra H y la otra por Ho y esta última será la hipótesis nula. Esto conllevara a todo el proceso de comprobación que ya se vio anteriormente.

Desarrollo

Distribución normal y t de Student

A Inicios del siglo xx WlllJam S. Gosset trabajaba en la empresa Gulnness, en lrlan1a. Tratando de elaborar cerveza a un menor costo (véase la referencia 4). Como solo contaba con muestras pequeñas para su estudio. Necesitaba encontrar una forma de hacer Inferencias sobre medias sin conocer u. Gosset resolvió este problema desarrollando lo que ahora se conoce como la distribución t de student, o distribución t.

Si la variable aleatoria X se distribuye normalmente, entonces el siguiente estadístico:

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Propiedades de la distribución t

 La distribución t tiene una apariencia muy similar a la distribución normal estándar. Ambas son simétricas y con forma de campana, con la media y la mediana Iguales a cero. Sin embargo, la distribución  t tiene un área mayor en las colas y un área menor en el centro que la distribución  normal estándar. Esto debe a que, como se utiliza S para estimar la u que se desconoce, los valores de t son más variables que los de Z.

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4.3 pruebas de significancia

Las pruebas de significancia estadística son un procedimiento que brinda un criterio objetivo para calificar las diferencias que se presentan al comparar los resultados de dos muestras, con el objetivo de explicar si dichas diferencias se mantienen dentro de los límites previstos por el diseño estadístico (un error y una confianza esperados) o si, por el contrario, la diferencia entre ellas resulta lo suficientemente grande como para inferir que ha ocurrido un cambio real en el indicador 

4.4 Prueba t de varianza conjunta para la diferencia entre dos medias

SI suponemos que las muestras aleatorias se selecciona de manera independiente de dos poblaciones, y que estas estan distribuidas de manera nomal y tienen varinzas iguales, enonces podemos utilizar la prueba t de varinza conjunta para determinar si existe un diferencia sugnificatiuva entre las medidas de las dos poblaciones. Si ls poblaciones no estan distribuidas de manera normal, también se puede utilizar la prueba t de varinza conjunta si los tamaños de la muestra son lo suficientemente grandes.

Si utilizamos subíndices para distinguir entre la media poblacional de la primera poblaxion y la media poblacional de la segunda población la hipótesis nula de la asusencia de diferencias en las medias de dos poblaciones independientes se puede expresar como:

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Y las hipótesis alternativas, que establecen que las medias no son iguales se expresa como:

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Prueba t de varianza conjunta para la diferencia entre dos medias

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4.8 Selección del tamaño de muestra para estimar la diferencia de dos medias

En Estadística el tamaño de la muestra es el número de sujetos que componen la muestra extraída de una población, necesarios para que los datos obtenidos sean representativos de la población. (ekhtordaniel, 2013).

Características:

1. Estimar un parámetro determinado con el nivel de confianza deseado.

2. Detectar una determinada diferencia, si realmente existe, entre los grupos de estudio con un mínimo de garantía.

3. Reducir costes o aumentar la rapidez del estudio.

Por ejemplo, en un estudio de investigación epidemiológico la determinación de un tamaño adecuado de la muestra tendría como objetivo su factibilidad. Así, Si el número de sujetos es insuficiente habría que modificar los criterios de selección, solicitar la colaboración de otros centros o ampliar el periodo de reclutamiento.

¿Qué tan grande debe ser una muestra si la media maestral se va a usar para estimar la media poblacional? La respuesta depende del error estándar de la media, si este fuera cero, entonces se necesitaría una sola media que será igual necesariamente a la media poblacional desconocida, porque   = 0. Este caso extremo no se encuentra en la práctica, pero refuerza el hecho de que mientras menor sea el error estándar de la media, menor es el tamaño de muestra necesario para lograr un cierto grado de precisión. (Kelmansky, 2018)

Se estableció antes que una forma de disminuir el error de estimación es aumentar el tamaño de la muestra, si éste incluye el total de la población, entonces   sería igual a cero. Con esto en mente, parece razonable que para un nivel de confianza fijo, sea posible determinar un tamaño de la muestra tal que el error de estimación sea tan pequeño como queramos, para ser más preciso, dado un nivel de confianza y un error fijo de estimación, se puede escoger un tamaño de muestra n tal que P() = Nivel de confianza. Con el propósito de determinar n. El error máximo de estimación está dado por[pic 9]

Si se eleva al cuadrado ambos lados de esta ecuación y se despeja n de la ecuación resultante, obtenemos:[pic 10]

Como n debe de ser un número entero, redondeamos hacia arriba todos los resultados fraccionarios.

En el caso de que se tenga una población finita y un muestreo sin reemplazo, el error de estimación se convierte en:

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4.9 Ejercicios resueltos

1. Un gerente de producción desea determinar si existe diferencia entre la productividad de los trabajadores del turno matutino y los del turno vespertino. Para ello, toma una muestra aleatoria de 30 trabajadores de cada turno y encuentra que produjeron un promedio de 68 artículos por turno, con una desviación estándar de 16, en tanto que los del turno vespertino produjeron 65.5 artículos en promedio con desviación estándar de 17. ¿Existe diferencia entre la productividad de los 2 turnos, a un nivel de significación de 0.01?

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