PRUEBAS DE HIPOTESIS CON DOS MUESTRAS Y VARIAS MUESTRAS DE CON DATOS CATEGORICOS

UNIDAD 5

PRUEBAS DE HIPOTESIS CON DOS MUESTRAS Y VARIAS MUESTRAS DE CON DATOS CATEGORICOS

5.1 Prueba Z para la diferencia entre dos proporciones.

Cuando se desea probar la hipótesis de que las proporciones en dos poblaciones no son diferentes, las dos proporciones muéstrales se emplean para determinar el error estándar de la diferencia entre proporciones.

La estimación conjunta de la proporción poblacional, basada en las proporciones obtenidas en dos muestras independientes, es:

π=(n1p1+n2p2)/(n1-n2)

El error estándar de la diferencia entre proporciones que se usa para probar la suposición de no diferencia es:

σp1-p2=√((π(1-π))/n1+(π(1-π))/n2)

La fórmula para obtener el estadístico z para probar la hipótesis nula de que no hay diferencia entre dos poblaciones es:

z=(P1-P2)/(σp1-p2)

El valor calculado para z,-1.15, está en la región de aceptación de la hipótesis nula. Por tanto, no se puede rechazar la hipótesis de que no hay diferencia en la proporción de televidentes en las dos comunidades.

Una encuesta realizada por Bancomer a 35 clientes indicó que un poco más del 74 por ciento tenían un ingreso familiar de más de $200,000 al año. Si esto es cierto, el banco desarrollará un paquete especial de servicios para este grupo. La administración quiere determinar si elporcentaje verdadero es mayor del 60 por ciento antes de desarrollar e introducir este nuevo paquete de servicios. Los resultados mostraron que 74.29 por ciento de los clientes encuestados reportaron ingresos de $200,000 o más al año.

El procedimiento para la prueba de hipótesis de proporciones es el siguiente:

1. Especifica la hipótesis nula y alternativa.

Hipótesis Nula:

Hipótesis Alternativa: ,

Donde P = la proporción de clientes con ingresos familiares anuales de $200,000 o más.

2. Específica el nivel de significación, , permitido. Para una , el valor de tabla de Z para una prueba de una sola cola es igual a 1.64.

3. Calcula el error estándar de la proporción especificada en la hipótesis nula.

Donde:

p = proporción especificada en la hipótesis nula.

n = tamaño de la muestra.

Por consiguiente:

4. Calcula la estadística de prueba:

5. La hipótesis nula se rechaza porque el valor de la Z calculada es mayor que el valor crítico Z. El banco puede concluir con un 95 por ciento de confianza que más de un 60 por ciento de sus clientes tienen ingresos familiares de $200,000 o más. La administración puede introducir el nuevo paquete de servicios orientado a este grupo.

El presidente del PRI en 1988, basado en su experiencia, sostiene que un 95% de los votos para las elecciones presidenciales han sido a favor de su partido. Los partidos de oposición levantaron una muestra de1, 100 electores y encontraron que un 87% de ellos votaría por el PRI. El presidente del PRI quiere probar la hipótesis, con un nivel de significación de 0.05, queel 95% de los votos son para su partido.

Hipótesis Nula:

Hipótesis Alternativa:

Tamaño de muestra: n=1,100

Nivel de Significación = 0.05.

El primer paso es calcular el error estándar de la proporción utilizando el valor hipotético del porcentaje que históricamente vota por el PRI:

Ahora sólo es necesario construir el intervalo de confianza:

La proporción de .87 de votos por el PRI en la encuesta no cae en la región de aceptación, por lo tanto el presidente del PRI debe de “preocuparse” por que la tendencia entre los votantes es a favorecer menos al PRI.

Probemos la hipótesis de que el porcentaje de microempresas cuyos dueños son hombres captado por la ENAMIN es distinto de 88 por ciento.

Hipótesis Nula:

Hipótesis Alternativa:

La hipótesis nula se rechaza porque el valor de la Z calculada es menor que el valor crítico Z de 1.96. Podemos concluir con un 95 por ciento de confianza que la proporción captada por la ENAMIN es estadísticamente distinta de 0.88.

5.2 Prueba para la diferencia entre dos proporciones.

Las pruebas de hipótesis a partir de proporciones se realizan casi en la misma forma utilizada cuando nos referimos a las medias, cuando se cumplen las suposiciones necesarias para cada caso. Pueden utilizarse pruebas unilaterales o bilaterales dependiendo de la situación particular.

La proporción de una población

Las hipótesis se enuncian de manera similar al caso de la media.

Ho: p = p0

H1: p ¹ p0

En caso de que la muestra sea grande n>30, el estadígrafo de prueba es:

Se distribuye normal estándar.

Regla de decisión: se determina de acuerdo a la hipótesis alternativa (si es bilateral o unilateral), lo cual puedes fácilmente hacerlo auxiliándote de la tabla 4.4.1.

En el caso de muestras pequeñas se utiliza la distribución Binomio. No lo abordaremos por ser complicado y poco frecuente su uso.

Diferencia entre las proporciones de dos poblaciones

La situación más frecuente es suponer que existen diferencias entre las proporciones de dos poblaciones, para ello suelen enunciarse las hipótesis de forma similar al caso de las medias:

Ho: p1 = p2 Þ p1 - p2 = 0

H1: p1 ¹ p2

Puede la hipótesis alternativa enunciarse unilateralmente.

El estadígrafo de prueba para el caso de muestras independientes:

Donde

Siendo a1 y a2, el número de sujetos con la característica objeto de estudio en las muestras 1 y 2 respectivamente, es decir, en vez de calcular la varianza para cada muestra, se calcula una p conjunta para ambas muestras bajo el supuesto que no hay diferencias entre ambas proporciones y así se obtiene la varianza conjunta. Recuerda que q = 1-p.

Está de más que te diga que este estadígrafo se distribuye normal estándar.

La regla de decisión se determina de manera similar a los casos ya vistos anteriormente.

El objetivo de la prueba es comparar estas dos proporciones, como estimadores

H1: p1 ¹ p2

Recuerda que la H1 también puede plantearse de forma unilateral.

Si el Ho es cierta entonces b - c =0 y el estadígrafo de prueba es:

Algunas veces estamos interesados en analizar la diferencia entre las proporciones de poblaciones de grupos con distintas características. Por ejemplo, pensemos que la administración de las tiendas Oxxo cree, sobre la base

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