Distribuciones muestrales y muestreo aleatorio y Prueba de hipótesis para una y dos poblaciones

Distribuciones muestrales y muestreo aleatorio y Prueba de hipótesis para una y dos poblaciones

La estadística es un pilar fundamental hoy en día para el tratamiento de la información, no sólo de forma descriptiva, sino también de forma inferencial con el objeto básico de hacer estimaciones acerca de los valores estadísticos de la población para definir las hipótesis de aquellas características que han sido investigadas.

En el muestreo aleatorio se tienen diferentes métodos como el muestreo aleatorio simple, muestreo estratificado, muestreo por conglomerados, muestreo por fases y muestreo sistemático. Estos métodos de muestreo implican diferentes consideraciones importantes como un buen diseño estadístico, la elección de los elementos al azar y una consideración de mantener bajo el error muestral para disminuir la diferencia entre el valor encontrado y el real de la población observada.

Se debe tener en cuenta, que el mejor diseño de muestreo es aquel que permita la mayor precisión a un menor costo de error y que tiende a estudiar la veracidad de los resultados construyendo un intervalo de confianza para los parámetros estimados y rechazando o no las hipótesis planteadas para el estudio realizado.

Algunas de las distribuciones muestrales más importantes son las siguientes:

Media muestral: Se Considera la determinación de la distribución de muestreo de la media muestral . Suponga que se toma una muestra aleatoria de tamaño n de una población con distribución normal, con media  y varianza . Entonces, cada observación de esta muestra, digamos, , es una variable aleatoria con una distribución normal e independiente, con media  y varianza . Por la propiedad de reproducción de la distribución normal se cumple que la media muestral está dada por  y varianza . [pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

Con estos resultados se puede obtener la distribución de la media utilizando el teorema del limite central dado por la siguiente expresión:

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Para la diferencia de medias la distribución de muestreo es:

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Para la proporción siempre que  y , se estandariza el estadístico como:[pic 11][pic 12]

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Es aproximadamente normal estándar cuando n es grande.

Por otra parte, en el caso de las pruebas de hipótesis busca responder en forma segura a ciertas preguntas y/o tomar decisiones con respecto a diferentes fenómenos que se encuentren bajo estudio. Por ende, el experimentador tiene ciertas creencias o hipótesis que desea comprobar.

Por ejemplo, si dos tratamientos en promedio tienen los mismos resultados, si el tratamiento A es más eficiente que el tratamiento B o viceversa. De este modo, una hipótesis de investigación es una proposición o declaración realizada por el investigador cuando éste especula acerca del resultado final de la investigación o experimento y desea corroborar sus especulaciones.

En este orden de ideas, se puede afirmar que una hipótesis estadística es una afirmación sobre los valores de los parámetros de una o más poblaciones bajo estudio, que es susceptible a probarse a partir de la información contenida en una muestra representativa obtenida de la población.

Por ejemplo, suponga que, para las futuras elecciones una encuestadora reconocida a nivel nacional muestra que el candidato Gustavo Petro ganaría en primera vuelta con un 53% de los votos a favor. El gerente de una empresa no está de acuerdo con esta afirmación y decide realizar un estudio propio tomando como muestra 3472 personas de las principales ciudades del país y encuentra que un 47% de las personas votarían a favor del candidato mencionado. La prueba de hipótesis a plantear en este caso es si la proporción realmente es de 53% o inferior a ello, aplicando así una prueba a cola inferior.

Estas hipótesis se validan a través del estadístico de prueba que permite rechazar o no la hipótesis nula el cuál se compara con los valores de tabla que encierran una región de aceptación y a su vez dejan una región de rechazo. Se debe tener en cuenta que al estudiar estas hipótesis pueden cometerse dos tipos de errores los cuales se conocen como: Error tipo I (Rechazar la hipótesis nula siendo verdadera) y Error tipo II (No rechazar la hipótesis nula siendo falsa).

Para verificar las hipótesis planteadas existen diferentes formas de acuerdo a las características de la muestra observada. En una primera instancia se tienen las pruebas de hipótesis para una muestra y para dos muestras o poblaciones. Inicialmente veremos estas pruebas para una población.

Suponiendo que se quiere probar la hipótesis de igualdad de media muestral con respecto a un valor teórico o por experiencia conocido y además se conoce la varianza de dicho proceso se calcula el estadístico dado por  y mientras tanto, cuando no se conoce la varianza del proceso se debe tener en cuenta dos características, si el tamaño de muestra es superior a 30 se utiliza el mismo estadístico anterior remplazando la desviación poblacional por la muestral (S). Sin embargo, cuando la muestra es pequeña el estadístico se compara con el valor tabulado en la tabla t con n-1 grados de libertad (véase a continuación los estadísticos  y :[pic 14][pic 15][pic 16]

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