Distribuciones muestrales y estimadores

ESTADÍSTICA

Tarea 10

Distribuciones muestrales y estimadores

1. En un estudio sobre métodos de selección de género, un analista considera el proceso de generar dos nacimientos. Cuando se eligen 2 nacimientos al azar, el espacio muestral es hh, hm, mh, mm. Esos 4 resultados son igualmente probables, de modo que la probabilidad de cero niñas es de 0.25, la probabilidad de una niña es de 0.50 y la probabilidad de dos niñas es de 0.25. Describa la distribución muestral de la proporción de niñas en 2 nacimientos en una tabla de distribución de probabilidad y también en un histograma de probabilidad.

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1. Cuando se selecciona al azar 3 nacimientos, el espacio muestral es hhh, hhm, hmh, hmm, mhh, mhm, mmh y mmm. Suponga que los 8 resultados son igualmente probables y describa la distribución muestral de la proporción de niñas en 3 nacimientos utilizando una tabla de distribución de probabilidad y también en un histograma de probabilidad. ¿La media de las proporciones muestrales es igual a la media de la distribución de la proporción de niñas en tres nacimientos?

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La proporción de niñas en tres nacimientos es 0.125 y la media de las proporciones muestrales es 0.5 por lo que no son iguales.

1. Se seleccionan tres hogares al azar para el proyecto piloto de una gran encuesta que se realizará en un futuro. Los números de integrantes de los hogares son 2, 3 y 10. Considere estos valores como una población. Suponga que se eligen al azar y con reemplazo muestras de tamaño n=2.

Rango

1. Elabore una lista de todas las muestras posibles (nueve), y calcule el rango de cada muestra.

1. Describa la distribución muestral de los rangos en una tabla que resuma la distribución de probabilidad.

1. Describa la distribución muestral de los rangos en un histograma de probabilidad.

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1. Con base en los resultados, ¿los rangos muestrales coinciden con el rango de la población, que es 10 – 2 = 8? No, no coinciden, ya que la media de los rangos muestrales es 4.
2. ¿Qué indican estos resultados sobre el rango muestral como estimador del rango poblacional? El rango muestral es un estimador sesgado del rango poblacional.

Mediana

1. Calcule la mediana de cada una de las nueve muestras, luego resuma la distribución muestral de las medianas en una tabla que represente la distribución de probabilidad.

1. Compare la mediana poblacional con la media de las medianas muestrales.
   La mediana poblacional es 3 y la mediana de las medianas muestrales es 5.
2. ¿Las medianas muestrales coinciden con el valor de la mediana poblacional? En general, ¿las medianas muestrales son buenos estimadores de las medianas poblacionales? ¿Por qué?
   No coinciden los valores de las medianas muestrales con el valor de la mediana poblacional. Las medianas muestrales se consideran estimadores sesgados ya que no se dirigen al valor del parámetro poblacional correspondiente, en este caso, a mediana poblacional.

Desviación estándar

1. Calcule la desviación estándar de cada una de las nueve muestras, luego resuma la distribución muestral de las desviaciones estándar en una tabla que represente la distribución de probabilidad.

1. Compare la desviación estándar poblacional con la media de las desviaciones estándar muestrales.
   La desviación estándar poblacional es de 4.3 y la muestral es de 3.5.

1. ¿Las desviaciones estándar muestrales coinciden con el valor de la desviación estándar poblacional? En general, ¿las desviaciones estándar muestrales son buenos estimadores de las desviaciones estándar poblacionales? ¿Por qué?
   No coinciden los valores de las desviaciones muestrales con el valor de la desviación estándar poblacional. Las desviaciones estándar se consideran estimadores sesgados ya que no se dirigen al valor del parámetro poblacional correspondiente, en este caso, a desviación estándar poblacional.

Varianza

1. Calcule la varianza de cada una de las nueve muestras, luego resuma la distribución muestral de las varianzas en una tabla que represente la distribución de probabilidad.

1. Compare la varianza poblacional con la media de las varianzas muestrales.
   Ambos datos dan 12.67.
2. ¿Las varianzas muestrales coinciden con el valor de la varianza poblacional? En general, ¿las varianzas muestrales son buenos estimadores de las varianzas poblacionales? ¿Por qué?
   Sí coinciden. La varianza en general se considera un estimador no sesgado, es decir, se dirige al valor del parámetro poblacional correspondiente.

Media

1. Calcule la media de cada una de las nueve muestras, luego resuma la distribución muestral de las medias en una tabla que represente la distribución de probabilidad.

1. Compare la media poblacional con la media de las medias muestrales.
   Tanto la media muestral como la poblacional es igual a 5.
2. ¿Las medias muestrales coinciden con el valor de la media poblacional? En general, ¿las medias muestrales son buenos estimadores de las medias poblacionales? ¿Por qué?
   Sí coinciden. La media en general se considera un estimador no sesgado, es decir, se dirige al valor del parámetro poblacional correspondiente.

Teorema del límite central

1. Actualmente los ingenieros estaban rediseñando los asientos de expulsión de aviones de combate para que se ajustaran mejor a las mujeres. Antes de que las mujeres se convirtieran en pilotos de aviones de combate, los asientos expulsores ACES-II se diseñaron para hombres que pesaran entre 140 libras y 211 libras. La población de mujeres tiene pesos distribuidos normalmente, con una media de 143 libras y una desviación estándar de 29 libras (de acuerdo con datos del National Health Survey).

1. Si se selecciona una mujer al azar, calcule la probabilidad de que pese entre 140 libras y 211 libras.
   La probabilidad es de 0.4506.
2. Si se seleccionan 36 mujeres diferentes al azar, calcule la probabilidad de que su peso medio se ubique entre 140 y 211 libras.
   La probabilidad es de 0.476
3. Al rediseñar los asientos expulsores de aviones de combate, para que se ajusten mejor a las mujeres, ¿qué probabilidad es más importante: el resultado del inciso a o el resultado del inciso b? ¿Por qué?
   El inciso a, porque los asientos serán ocupados individualmente, no por grupos de mujeres.

1. La presión sistólica (en mm Hg) de mujeres entre 18 y 24 años se distribuye normalmente, con una media de 114.8 y una desviación estándar de 13.1 (de acuerdo con datos del National Health Survey). La hipertensión suele definirse como una presión sistólica que rebasa 140.

1. Si se selecciona al azar a una mujer de entre 18 y 24 años, calcule la probabilidad de que su presión sistólica sea mayor que 140.
   La probabilidad es de 0.0274
2. Si se seleccionan al azar cuatro mujeres del mismo rango de edad, calcule la probabilidad de que su presión sistólica media sea mayor que 140.
   La probabilidad es 0.0001
3. Puesto que el inciso b incluye un tamaño de muestra no mayor que 30, ¿por qué se puede utilizar el teorema del límite central?
   Sí, porque es una distribución normal y funciona par cualquier tamaño de muestra.
4. Si un médico recibe un reporte que afirma que cuatro mujeres tienen una presión sistólica media menor que 140, ¿concluiría que ninguna de las mujeres es hipertensa (con una presión sanguínea mayor que 140)?
   No podría, porque el tamaño de muestra es muy pequeño como para hacer tal aseveración.

1. Los dulces M&M sencillos tienen un peso medio de 0.9147 g y una desviación estándar de 0.0369 g. Los dulces M&M que se utilizan en el conjunto de datos provienen de un paquete que contenía 1498 dulces y la etiqueta del paquete establecía que su peso neto era de 1361 g. (Si cada paquete tiene 1498 dulces, el peso medio de los dulces debe exceder 1361/1498 = 0.9085 g del contenido neto, para pesar al menos 1361 g).

1. Si se selecciona al azar un dulce M&M sencillo, calcule la probabilidad de que pese más de 0.9085 g.
   La probabilidad es de 0.5675.
2. Si se seleccionan al azar 1498 dulces M&M sencillos, calcule la probabilidad de que su peso medio sea de al menos de 0.9085 g.
   La probabilidad es de 0.9999.
3. Con estos resultados, ¿está Mars Company ofreciendo a los consumidores de M&M la cantidad que anuncia en la etiqueta?
   Sí.

1. El gerente de la tienda Portland Electronics se preocupa porque sus distribuidores le están entregando televisores con una calidad menor al promedio. Su investigación revela que los tiempos de reemplazo de televisores tienen una media de 8.2 años y una desviación estándar de 1.1 años (según datos de “Getting Things Fixed”, Consumer Reports). Entonces, selecciona al azar 50 televisores que se vendieron en el pasado y encuentra que el tiempo de reemplazo es de 7.8 años.

1. Suponiendo que el tiempo de reemplazo de televisores tiene una media de 8.2 años y una desviación estándar de 1.1 años, calcule la probabilidad de que 50 televisores que se seleccionaron aleatoriamente tengan un tiempo medio de reemplazo de 7.8 años o menos.
   La probabilidad es de 0.0001.
2. Con base en el resultado del inciso a, ¿parecería que la tienda Portland Electronics vende televisores con una calidad menor al promedio?
   Al contrario, vende una calidad mayor.

La distribución normal como aproximación de la distribución binomial

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