Distribuciones Muestrales.

- 348. DISTRIBUCIONES MUESTRALES

1. DISTRIBUCION DE LA MEDIA MUESTRAL

Sea la población X ~ N ( , a2 ) y sea X = ( X1 , X2 , X3, . . . , Xn) una muestra aleatoria de dicha población.

Si se desea estimar ^ , pueden darse los siguientes casos:

Caso 1. Que a2 sea conocida.

Entonces por el teorema central del limite, se tiene:

X ~ N

Caso 2. Que a2 sea desconocida, pero n > 30

Entonces por el teorema central del limite, se tiene:

X ~ N

M-

, donde S2 es una constante, y

n

I (X - x)2

5 í =

n -1

Caso 3. Que a2 sea desconocida, pero n < 30

Entonces por el teorema central del limite, se tiene:

X ~ N

, donde S2 es una variable aleatoria

n

Entonces, estandarizando X tendremos un cociente de variables aleatorias:

~t ( n- 1 )

X - m S_

■sin

I ( x, - x )2

donde

5 2 = M

n -1

n -1        2g

, pero

2 n -1

además 52 ~ Gamma (n -1)52

X{n-\)

G

1. DISTRIBUCION DE LA VARIANZA MUESTRAL INSESGADA Y DE UNA FUNCION DE ESTA

Sea la población X ~ N ( ^ , o2 ) y sea X = ( X1 , X2 , X3 muestra aleatoria de dicha población.

. , Xn ) una

Si se desea estimar a2 , pueden darse los siguientes casos:

Caso 1. Que ^ sea conocida. Entonces

É (X - m)2 s 2 =         , y

n -1

f n 2a2 ^

S2 ~ Gamma

v 2 n -1J

Si definimos una función de S2, se tiene (n-1) S2        t(X‘ - M

22 a        a

Del 2do miembro de la igualdad, se tiene

É (M - *■

2

<*«■< -v *“

' •        a2        X(n)

Caso 2. Que ^ sea desconocida. Entonces

É ( x - x)2

s 2 =         ,        y

n -1

(n - 1)S        2

S2 ~ Gamma f        ^

( 2 n -1J

Si definimos una función de S2 , se tiene

(n-1)S2

_2        2

a        a

Del 2do miembro de la igualdad, se tiene

1 n        _

T É(X -M + M-x)

T i=1

1 n        _

- £[( X, - M) - (X - M

a2 -

desarrollando el binomio

1

Z[(X - i)2 - 2(Xt - i)(X- i + (X- i)

2

o        i=1

1

o

Z (X - i)2 - 2(X - i) Z (X - i) + n (X - i)

i=1

i=1

j

En (*) se tiene :

Z(X- i) =Z X- n i

i=1

i=1

Z x.

i =1

=n

n i

n

= nX - n i reemplazando esta expresión, se tiene :

última

=        2        ]Z (Xi - i)2 - 2( X - i) n (X - i) + n (X - i

2

o l =1

O fZ (Xi - i)2 - 2n (X - i)2 + n (X - i)2

O l i=1

=        2 fZ (Xi        - i)2 - n (X - i)

2

O l i=1

2

= Z-

o

o

i=1

2

2

X-i

o

Tn

- n f

2 2 %(n) - %1

y por la propiedad reproductiva

=        %        (n-1)

- 36

1. DISTRIBUCION DE LA PROPORCION MUESTRAL (p) EN POBLACIONES

BERNOULLI, Y MUESTRAS GRANDES (n >30)

Sea la población X ~ Bernoulli(p) y sea X = ( X1 , X2 , X3 , . . . , Xn) una muestra aleatoria de dicha población.

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