DISTRIBUCIONES MUESTRALES

DISTRIBUCIONES MUESTRALES

El estudio de determinadas características de una población se efectúa a través de diversas muestras que pueden extraerse de ella.

El muestreo puede hacerse con o sin reposición, y la población de partida puede ser infinita o finita. Una población finita en la que se efectúa muestreo con reposición puede considerarse infinita teóricamente. También, a efectos prácticos, una población muy grande puede considerarse como infinita. En todo nuestro estudio vamos a limitarnos a una población de partida infinita o a muestreo con reposición.

Consideremos todas las posibles muestras de tamaño n en una población. Para cada muestra podemos calcular un estadístico (media, desviación típica, proporción,...) que variará de una a otra. Así obtenemos una distribución del estadístico que se llama distribución muestral.

Las dos medidas fundamentales de esta distribución son la media y la desviación típica, también denominada error típico.

Hay que hacer notar que si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande las distribuciones muéstrales son normales y en esto se basarán todos los resultados que alcancemos.

1. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS

Cada muestra de tamaño n que podemos extraer de una población proporciona una media. Si consideramos cada una de estas medias como valores de una variable aleatoria podemos estudiar su distribución que llamaremos distribución muestral de medias.

• Si tenemos una población normal N(m,s) y extraemos de ella muestras de tamaño n, la distribución muestral de medias sigue también una distribución normal

• Si la población no sigue una distribución normal pero n>30, aplicando el llamado Teorema central del límite la distribución muestral de medias se aproxima también a la normal anterior.

1) Las notas de cierto examen se distribuyen según una normal de media 5,8 y desviación típica 2,4. Hallar la probabilidad de que la media de una muestra tomada al azar de 16 estudiantes esté comprendida entre 5 y 7

 La población es N(5,8;2,4), con n=16 la distribución muestral de medias se distribuye N(5,8;0,6)

En la escena llamamos s a la desviación típica de la población. Compara los gráficos de la distribución muestral y de la distribución de la población. Estas distribuciones están dibujadas con una escala diferente a la N(0,1), puedes cambiarla con el valor ESCALA.

 Si x es la media de la muestra hemos de calcular la probabilidad

P(5£x£7)=P(-1.33£z£2)=

=P(z£2)-[1-P(z£1.33)] = 0,8854

Pulsando sobre el icono se abrirá una página con la tabla N(0,1).

Busca en ella las probabilidades que corresponden a los valores za y zb

2) Las estaturas de cierta población se distribuyen N(168,8). Calcula la probabilidad de que en una muestra de 36 personas la altura media no difiera de la de la población en más de 1 cm. Cambia los valores en la escena, con las flechas o escribiéndolos sobre los actuales y pulsando INTRO. Cambia el valor de la ESCALA para verlo mejor.

2. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE PROPORCIONES

En numerosas ocasiones se plantea estimar una proporción o porcentaje. En estos casos la variable aleatoria toma solamente dos valores diferentes (éxito o fracaso), es decir sigue una distribución binomial y cuando la extensión de la población es grande la distribución binomial B(n,p) se aproxima a la normal .

Para muestras de tamaño n>30, la distribución muestral de proporciones sigue una distribución normal

Donde p es la proporción de uno de los valores que presenta la variable estadística en la población y q=1-p.

3) Si tiramos una moneda no trucada 100 veces, ¿cuál es la probabilidad de que obtengamos más de 55 caras?

En una moneda no trucada la proporción de caras es 0,5, con lo que p=0,5 q=0,5 n=100

La distribución muestral de proporciones se distribuye

N(0,5;0,05)

Si llamamos p' a la proporción en la muestra hemos de calcular la probabilidad

P(p'>0,55) = P(z>1) =

=1-P(z£1) = 1-0,8413 = 0,1587

Utiliza la tabla N(0,1) para comprobar la probabilidad correspondiente al valor z

Como antes, cambia los valores en la escena. Cambia también el valor de la ESCALA para verlo mejor.

4) Una máquina fabrica piezas de precisión y en su producción habitual tiene un 3% de piezas defectuosas. Se empaquetan en cajas de 200, ¿cuál es la probabilidad de encontrar entre 5 y 7 piezas defectuosas en una caja?

Teorema del límite central

El teorema del límite central o teorema central del límite indica que, en condiciones muy generales, si Sn es la suma den variables aleatorias independientes y de varianza no nula pero finita, entonces la función de distribución de Sn «se aproxima bien» a una distribución normal (también llamada distribución gaussiana, curva de Gauss o campana de Gauss). Así pues, el teorema asegura que esto ocurre cuando la suma de estas variables aleatorias e independientes es lo suficientemente grande.1 2

Definición

Sea N(μ,σ2) la función de densidad de la distribución normal definida como1

fμ,σ2(x)=12πσ2√e−(x−μ)22σ2,

con una media µ y una varianza σ2. El caso en el que su función de densidad sea N(0,1), a la distribución se le conoce como normal estándar.

Se define Sn como la suma de n variables aleatorias, independientes, idénticamente distribuidas, y con una media µ y varianza σ2 finitas (σ2≠0):

Sn=X1+⋯+Xn

de manera que, la media de Sn es n•µ y la varianza n•σ2, dado que son variables aleatorias independientes. Con tal de hacer más fácil la comprensión del teorema y su posterior uso, se hace una estandarización de Sn como

Zn = Sn−nμσn−−√

para que la media de la nueva variable sea igual a 0 y la desviación estándar sea igual a 1. Así, las variables Znconvergerán en distribución a la distribución normal estándar N(0,1), cuando n tienda a infinito. Como consecuencia, si Φ(z) es la función de distribución de N(0,1), para cada número real z:

limn→∞Pr(Zn≤z)=Φ(z)

donde Pr( ) indica probabilidad y lim se refiere a límite matemático.

Enunciado formal

De manera formal, normalizada y compacta el enunciado del teorema es:3

Teorema del límite central: Sea X1, X2, ..., Xn un conjunto de variables aleatorias, independientes e idénticamente distribuidas con media μ y varianza 0<σ2<∞. Sea

Sn=X1+⋯+Xn

Entonces

limn→∞Pr(Sn−nμσn−−√≤z)=Φ(z).

Es muy común encontrarlo

...