Distribucion muestral de medias

distribución muestral de medias cuando se desconoce la desviación estándar poblacional o varianza poblacional

Tratar de estimar la media de una población sin conocer la varianza. sí tenemos una muestra aleatoria a partir de una distribución normal, entonces la variable aleatoria tiene una distribución t de Student con n – 1 grados de libertad. Aquí S es la desviación estándar de la muestra.

[pic 1]

En esta situación, en la que se desconoce σ, se puede utilizar T para construir un intervalo de confianza para μ. donde tα/2 es el valor t con n – 1 grados de libertad, por arriba del cual encontramos una área de α/2.

P (−tα/ 2 < T < tα/ 2 ) = 1 – α

Debido a la simetría, un área igual de α/2 caerá a la izquierda de –t α/2 . Al sustituir por T escribimos

[pic 2]

Al multiplicar cada término en la desigualdad por S/ y después restar X – de cada término y multiplicar por –1, obtenemos[pic 3]

[pic 4]

Para nuestra muestra aleatoria particular de tamaño n se calculan la media x¯ y la desviación estándar s, y se obtiene el siguiente intervalo de confianza 100(1 – α)% para μ.

Intervalo de confianza para μ cuando se desconoce σ 2

Si x¯ y s son la media y la desviación estándar de una muestra aleatoria de una población normal de la que se desconoce la varianza σ2 , un intervalo de confianza del 100(1 – α)% para μ es

[pic 5]

donde tα/2 es el valor t con v = n – 1 grados de libertad que deja una área de α/2 a la derecha.

Distribución muestral de medias cuando se desconoce la varianza y la desviación poblacional pero se supone que son iguales

Considere el caso donde se desconocen σ1 2 y σ2 2 . Si σ1 2 = σ2 2 = σ2 obtenemos una variable normal estándar de la forma

[pic 6]

las dos variables aleatorias tienen distribuciones chi cuadrada con n1 – 1 y n2 – 1 grados de libertad, respectivamente. Además, son variables chi cuadrada independientes, ya que las muestras aleatorias se seleccionaron de forma independiente.

[pic 7]

En consecuencia, su suma tiene una distribución chi cuadrada con v = n1 + n2 – 2 grados de libertad.

[pic 8]

Como se puede demostrar que las expresiones anteriores para Z y V son independientes, del teorema 8.5 se sigue que el estadístico tiene la distribución t con v = n1 + n2 – 2 grados de libertad.

[pic 9]

Se puede obtener una estimación puntual de la varianza común desconocida σ 2 agrupando las varianzas muestrales. Si representamos con p 2 S al estimador agrupado, obtenemos lo siguiente, [pic 10]

Al sustituir Sp2 en el estadístico T, obtenemos la forma menos engorrosa:

[pic 11]

Si usamos el estadístico T, tenemos donde t α/2 es el valor t con n1 + n2 – 2 grados de libertad, por arriba del cual encontramos una área de α/2.

P (−tα/ 2 < T < tα/ 2 ) = 1 – α

Al sustituir por T en la desigualdad, escribimos

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