Prueba Para La Diferencia De Dos Proporciones

PRUEBA PARA LA DIFERENCIA DE DOS PROPORCIONES

Algunas veces se desea comparar la proporción con que ocurre un mismo evento en

dos poblaciones distintas. Esto conlleva a hacer inferencias acerca de la diferencia 1 2 p - p .

Supongamos que de una de las poblaciones sacamos una muestra de tamaño m, y que en

ella ocurre el evento X1 veces, y de la segunda población sacamos una muestra de tamaño n

y que en ella ocurre el evento X2 veces. Se puede mostrar que el siguiente estadístico:

2 ˆ = , q1=1-p1 y q2=1-p2 se distribuye aproximadamente como

una normal estándar cuando n y m son grandes tal que, 1 mpˆ y 2 npˆ son mayores que 5.

El concepto de prueba de hipótesis se puede utilizar para probar hipótesis en relación con datos cualitativos. Por ejemplo, en el problema anterior el gerente de la fabrica de llantas quería determinar la proporción de llantas que se reventaban antes de 10,000 millas. Este es un ejemplo de una variable cualitativa, dado que se desea llegar a conclusiones en cuanto a la proporción de los valores que tienen una característica particular.

El gerente de la fábrica de llantas quiere que la calidad de llantas producidas, sea lo bastante alta para que muy pocas se revienten antes de las 10,000 millas. Si más de un 8% de las llantas se revientan antes de las 10,000 millas, se llegaría a concluir que el proceso no funciona correctamente. La hipótesis nula y alternativa se pueden expresar como sigue:

Ho: p .08 (funciona correctamente)

H1: p > .08 (no funciona correctamente)

La prueba estadística se puede expresar en términos de la proporción de éxitos como sigue:

En donde

p = proporción de éxitos de la hipótesis nula

Ahora se determinará si el proceso funciona correctamente para las llantas producidas para el turno de día. Los resultados del turno de día índican que cinco llantas en una muestra de 100 se reventaron antes de 10,000 millas para este problema, si se selecciona un nivel de significancía de .05, las regiones de rechazo y no rechazo se establecerían como a continuación se muestra:

Y la regla de decisión sería:

Rechazar Ho si > + 1.645; de lo contrario no rechazar Ho.

Con los datos que se tienen,

= = .05

Y entonces,

= = = = −1.107

Z −1.107 < + 1.645; por tanto no rechazar Ho.

La hipótesis nula no se rechazaría por que la prueba estadística no ha caído en la región de rechazo. Se llegaría a la conclusión de que no hay pruebas de que más del 8% de las llantas producidas en el turno de día se revienten antes de 10,000 millas. El gerente no ha encontrado ninguna prueba de que ocurra un número excesivo de reventones en las llantas producidas en el turno de día.

Hay diferencia en la proporción de televidentes en las dos comunidades.

...