Prueba Para Varias Proporciones

PRUEBA PARA VARIAS PROPORCIONES

La estadística ji cuadrada para probar la homogeneidad también se aplica para determinar diferencias entre K proporciones. Por ello nos interesamos en probar la hipótesis nula

H0: p1=p2=…=pk

Contra la hipótesis alternativa, H1, de que las proporciones de la población no son todas iguales. Para ejecutar esta prueba, primero observamos muestras aleatorias independientes de tamaño n1, n2,…, nk de las k poblaciones y acomodamos los datos en la tabla de contingencia 2 x k.

K MUESTRAS BINOMIALES INDEPENDIENTES

Muestra 1 2 … K

Exitos X1 X2 … nk

Fracasos N1-x1 N2-x2 … Nk-xk

Según si los tamaños de las muestras aleatorias se predeterminaron u ocurrieron al azar, el procedimiento de prueba es idéntico a la prueba es idéntico a la prueba de homogeneidad o a la prueba de independencia. Por tanto, la frecuencia de celdas esperadas se calculan como antes y de sustituyen junto con las frecuencias observadas en la estadística ji cuadrada.

χ^2=∑(0_1-e_1 )^2/e_1

Con:

V= (2-1)(k-1)=k-1

Grados de libertad. Al seleccionar la región critica apropiada de la cola superior de la forma χ^2>χ_∝^2 , se puede llegar ahora a una decisión con respecto a H0.

EJEMPLO

En un estudio de un taller, se reúne un conjunto de datos para determinar si la proporción de defectuosos producida por los trabajadores es la misma para el turno matutino, vespertino o nocturno. Se reunieron los datos siguientes:

Turno Matutino Vespertino Nocturno

Defectuosos 45 55 70

No defectuosos 905 890 870

Utilice un nivel de significancia de 0.025 para determinar si la proporción de defectuosos es la misma para los tres turnos.

Solución:

Representemos con p1, p2 y p3 la proporción real de defectuosos para lo turnos matutino, vespertino y nocturno, respectivamente.

1.- H0: p1= p2 = p3

H1: p1, p2 y p3 no todas son iguales.

2.- α: 0.025

3.- Región critica: χ^2>7.38 para V= k-1 =3-1=2

4.- Cálculos: en correspondencia con las frecuencias observadas o1= 45, o2=55 y o3=70, encontramos:

e_1=(950)(170)/2835=57

e_1=(945)(170)/2835=56.7

e_1=(940)(170)/2835=56.3

FRECUENCIAS ESPERADAS Y OBSERVADAS

Turno Matutino Vespertino Nocturno Total

Defectuosos 45 (57) 55 (56.7) 70 (56.3) 170

No defectuosos 905 (893) 890 (888.3) 870 (883.7) 2665

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