LAS MEDIDAS Y REPRESENTACIONES GRAFICAS

02. LAS MEDIDAS Y REPRESENTACIONES GRÀFICAS

Las medidas nos permiten información sobre la serie de datos que estamos analizando. Estas medidas permiten conocer diversas características de esta serie de datos.

Medición, Se ha definido como la asignación de números a los elementos u objetos para representar o cuantificar una propiedad. El problema básico está dado por la asignación un numeral que represente la magnitud de la característica que queremos medir y que dicho números pueden analizarse por manipulaciones de acuerdo a ciertas reglas.

Niveles o Escalas de mediciones, al respecto cabe señalar algunas definiciones: Nominal, consiste en la asignación, puramente arbitraria de números a cada una de las diferentes categorías en las cuales podemos dividir el carácter que observamos, sin que puedan establecerse relaciones entre dichas categorías, a no ser el de que cada elemento pueda pertenecer a una y solo una de estas categorías; Ordinal, En caso de que puedan detectarse diversos grados de un atributo o propiedad de un objeto, la medida ordinal es la indicada, puesto que entonces puede recurrirse a la propiedad de “orden” de los números asignándolo a los objetos en estudio de modo que, si la cifra asignada al objeto A es mayor que la de B, puede inferirse que A posee un mayor grado de atributo que B; Intervalos, está caracterizada por una unidad de medida común y constante que asigna un número igual al número de unidades equivalentes a la de la magnitud que posea el elemento observado; y Coeficientes, entonces, a iguales diferencias entre los números asignados corresponden iguales diferencias en el grado de atributo presente en el objeto de estudio. Además, siendo que cero ya no es arbitrario, sino un valor absoluto, podemos decir que A. Tiene dos, tres o cuatro veces la magnitud de la propiedad presente en B.

MEDIDAS DE POSICIÓN

Medidas de posición central, informan sobre los valores medios de la serie de datos.

Medidas de posición no centrales, informan de como se distribuye el resto de los valores de la serie. Las principales medidas de posición central son:

Valor Medio, Promedio o Valor Central, es el valor medio ponderado de la serie de datos. Se pueden calcular diversos tipos de media, siendo las más utilizadas:

Media Aritmética, se calcula sumando los valores y dividiendo en el número de ellos, o sumando los valores de multiplicar cada valor por el número de veces que se repite. La suma de todos estos productos se divide por el total de datos de la muestra

La media aritmética de una variable estadística es la suma de todos sus posibles valores, ponderada por las frecuencias de los mismos. Es decir, si la tabla de valores de una variable X es

X ni fi

x1 n1 f1

… … …

xk nk fk

la media es el valor que podemos escribir de las siguientes formas equivalentes:

Media Geométrica, se eleva cada valor al número de veces que se ha repetido. Se multiplican todo estos resultados y al producto final se le calcula la raíz n (siendo n el total de datos de la muestra),

Según el tipo de datos que se analice será más apropiado utilizar la media aritmética o la media geométrica. La media geométrica se suele utilizar en series de datos como tipos de interés anuales, inflación, etc., donde el valor de cada año tiene un efecto multiplicativo sobre el de los años anteriores. En todo caso, la media aritmética es la medida de posición central más utilizada.

Ahora bien, , luego

Si los datos están agrupados en una tabla, entonces se tiene:

Media Armónica, , se define como el recíproco de la media aritmética de los recíprocos, es decir,

Media Cuadrática. , es la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados:

Media Ponderada, se calcula sumando los valores multiplicados por sus frecuencias o significancias, y dividiendo en la suma de las significancias,

Mediana, es el valor de la serie de datos que se sitúa justamente en el centro de la muestra una vez se ha ordenado ésta, corresponde a un 50% de valores son inferiores y otro 50% son superiores.

L es el límite inferior de la clase, f la frecuencia de esa clase y c la longitud de la clase, j el número de observaciones en esta clase

Consideramos una variable discreta X cuyas observaciones en una tabla estadística han sido ordenadas de menor a mayor. Llamaremos mediana, Med al primer valor de la variable que deja por debajo de sí al 50% de las observaciones. Por tanto, si n es el número de observaciones, la mediana corresponderá a la observación [n/2]+1, donde representamos por la parte entera de un número.

En el caso de variables continuas, las clases vienen dadas por intervalos, y aquí la fórmula de la mediana se complica un poco más (pero no demasiado): Sea (li-1,li] el intervalo donde hemos encontrado que por debajo están el 50% de las observaciones. Entonces se obtiene la mediana a partir de las frecuencias absolutas acumuladas, mediante interpolación lineal:

La relación corresponde a definir para cada posible observación, , su frecuencia relativa acumulada, F(x), por interpolación lineal entre los valores F(lj-1) = Fj-1 y F(lj) = Fj de forma que

De este modo, Med es el punto donde . Esto equivale a decir que la mediana divide al histograma en dos partes de áreas iguales a 1/2. Entre las propiedades de la mediana, se destacan principalmente,

- Como medida descriptiva, tiene la ventaja de no estar afectada por las observaciones extremas, ya que no depende de los valores que toma la variable, sino del orden de las mismas. Por ello es adecuado su uso en distribuciones asimétricas.

- Es de cálculo rápido y de interpretación sencilla.

- A diferencia de la media, la mediana de una variable discreta es siempre un valor de la variable que estudiamos (por ejemplo, la mediana de una variable número de hijos toma siempre valores enteros).

- Si una población está formada por 2 subpoblaciones de medianas Med1 y Med2, sólo se puede afirmar que la mediana, Med, de la población está comprendida entre Med1 y Med2:

- El mayor defecto de la mediana es que tiene unas propiedades matemáticas complicadas, lo que hace que sea muy difícil de utilizar en inferencia estadística.

- Es función de los intervalos escogidos.

- Puede ser calculada aunque el intervalo inferior o el superior no tenga límites.

- La suma de las diferencias de los valores absolutos de n puntuaciones

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