LOS CINCO AXIOMAS DE PEANO

LOS CINCO AXIOMAS DE PEANO

Los axiomas se han utilizado prácticamente sin cambios para una variedad de investigaciones metamatemáticas, incluyendo cuestiones acerca de la consistencia y completitud en la Teoría de números.

Los axiomas de Peano no se ocupan del significado de "número natural", sino que lo suponen y pretenden encontrar un sistema simple de axiomas que caractericen los números naturales y nos permitan deducir a partir de estos, todas las propiedades de los números naturales, utilizando las reglas de la lógica.

Los cinco axiomas de Peano

1. El 1 es un número natural.

2. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.

3. El 1 no es el sucesor de ningún número natural.

4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.

5. Si el 1 pertenece a un conjunto, y dado un número natural cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto. Este es el axioma de inducción, y captura la idea de Inducción matemática.

Hay un debate sobre si considerar al 0 como número natural o no. Generalmente se decide en cada caso, dependiendo de si se lo necesita o no. Cuando se resuelve incluir al 0, entonces deben hacerse algunos ajustes menores:

1. El 0 es un número natural.

2. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.

3. El 0 no es el sucesor de ningún número natural.

4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.

5. Si el 0 pertenece a un conjunto, y dado un número natural cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto. Este es el axioma de inducción, y captura la idea de inducción matemática.

INDUCCION MATEMATICA

El principio de Inducción Matemática es un método que se utiliza para demostrar propiedades, formulas, validarlas y probar que son verdaderas.

Es un método simple que consta de tres pasos fundamentales en los cuales se debe demostrar la propiedad reemplazando su incógnita por 1, luego por k y finalmente por k+1.

Los pasos para desarrollar la Inducción Matemática se detallan en el contenido del presente trabajo de investigación.

Cuando emitimos una afirmación o proposición podemos intentar clasificarla en el conjunto de las proposiciones generales, en donde interviene una afirmación del tipo de “para todo elemento de ...”, o bien en el conjunto de las proposiciones particulares en donde la afirmación se refiere “al elemento tal de ...”.

De la certeza de una proposición general se puede pasar a la certeza

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