La Ingenieria Y Yo

Asíntotas De Una Curva

Al analizar la forma de una curva , muchas veces se precisa conocer el comportamiento de la función, cuando la abscisa y la ordenada de un punto variable de la curva, juntas, o por separado tienden en valor absoluto a infinito. Es decir, para un punto (x, y) ó (x, f (x)) variable de la curva, interesa estudiar los siguientes casos:

1. Cuando , entonces Límites al infinito

2. Cuando , entonces Límites al infinito

3. Cuando , entonces } Límites infinitos

Aquí tiene especial importancia el caso para el cual la curva analizada se aproxima indefinidamente a una recta llamada ASÍNTOTA de la curva y cuya definición y determinación se precisará más delante.

Límites Al Infinito

En la unidad 8 se ha considerado el límite de una función f (x) cuando , ó , siendo a un número real.

Ahora, se quiere conocer el comportamiento de f (x) cuando la variable x toma valores positivos o negativos tan grandes en valor absoluto como se quiera. Esto último se expresa frecuentemente en el cálculo usando los símbolos: ó .

Considere por ejemplo la función: y cuya gráfica aparece en la fig. 9.18.

fig. 9.18.

En la tabla 1 aparecen tabulados los valores de f (x) cuando la variable x toma sucesivamente los valores: 0, 1, 10, 100, 1.000, 10.000 y 100.000.

x

0 1.33

1 1.4

10 1.47826

100 1.4975369

1000 1.4997504

10000 1.499975

100000 1.4999975

Tabla 1

x

-1 1

-10 1.52941

-100 1.502538

-1000 1.50025

-10000 1.500025

-100000 1.5000025

Tabla 2

Nótese que a medida que la variable x toma valores más y más grandes, f (x) se aproxima cada vez más al valor 1.5.

Observe, además, que cuando x = 100, entonces y cuando x = 1000, entonces .

Esto muestra que cuando la variable x toma valores más y más grandes, entonces la cantidad se hace cada vez más pequeña.

Supóngase ahora que se quiere que . ¿Qué valores de la variable x satisfacen esta desigualdad?

Se puede verificar que sí , entonces . En particular, sí .

Lo anterior se puede generalizar de la manera siguiente:

Dado un número , tan pequeño como se quiera, se puede encontrar un número tal que:

Si , entonces y esto se expresa escribiendo: .

Considérese ahora los valores tabulados en la tabla 2. Nótese que a medida que la variable x toma valores negativos y grandes en valor absoluto, nuevamente f (x) se aproxima cada vez más al valor 1.5.

Así, cuando x = – 100, entonces,

cuando x = – 10.000, entonces,

Aquí también tiene cabida la siguiente pregunta: ¿Para qué valores de x negativos, se verifica que ?

Se puede probar fácilmente (hágalo como ejercicio) que sí , entonces se cumple la desigualdad deseada. En particular, si , entonces, .

Lo anterior se puede generalizar diciendo que al fijar un número , se puede encontrar un número , tal que si , entonces y esto equivale a decir que: .

De una manera más general se tiene la siguiente definición:

Definición:

...