La Tortura

MODULO DE MATEMATICA Y ESTADISTICA

DOCENTE

MARCO ANTONIO PERALES MOLINA

FUNDACIÓN UNIVERSITARIA DEL ÁREA ANDINA

2012

LÓGICA MATEMÁTICA

El hombre se distingue de los demás animales por su capacidad de razonamiento y para mejorar dicha capacidad, le fue necesario hacer uso de una herramienta matemática, siendo esta la Lógica Matemática o Lógica Simbólica.

En la actualidad, la definición de Lógica que mejor se adapta a nuestras necesidades es:

LÓGICA: es el conjunto de los métodos y principios usados para distinguir el razonamiento correcto del incorrecto.

PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS

Antes de abordar esta interesante temática definamos los que es una proposición:

PROPOSICIÓN: Es la oración afirmativa que puede ser verdadera o falsa, pero no ambas.

Como ejemplos de proposiciones se dan los siguientes:

1. 4 es menor que ocho

2. Carlos es inocente

3. Colombia es un país de América

4. 6 es mayor que 10

5. María es inteligente

6. El sábado no hay clases

7. 5 más 11 es 16

8. El artículo 1 es el primero de la constitución

Ahora se dan algunas expresiones que no son proposiciones:

1. ¿Cómo te llamas?

2. ¿Qué hora es?

3. UPIICSA

4. El código

5. ¡se levanta la sesión!

Estas expresiones no son proposiciones porque no afirman nada que sea verdadero o falso, es decir, la 1 y 2 son preguntas, la 3 y 4 son frases y la 5 es una orden.

En la lógica se distinguen dos tipos de proposiciones:

Proposiciones simples: son aquellas que no pueden descomponerse en dos expresiones que sean proposiciones y no tienen oraciones componentes afectadas o en las que aparezcan negaciones ("no") o términos de enlace como conjunciones ("y"), disyunciones ("o") o implicaciones ("si. . . entonces").

Ejemplos de proposiciones simples:

1. La ballena es roja

2. La raíz cuadrada de 16 es 4

3. Gustavo es alto

4. Teresa va a la escuela

Proposiciones compuestas: son aquellas afectadas o en las que aparecen las partículas gramaticales como: No, o, y, si…entonces, si y solo si. Estas proposiciones pueden descomponerse en dos expresiones que sean proposiciones.

Ejemplos de proposiciones compuestas:

1. La ballena no es roja

2. Gustavo no es alto

3. Teresa va a la escuela o María es inteligente

4. 4 es menor que 8 o 6 es mayor que 10

5. El 1 es el primer número primo y es mayor que cero

6. El 7 es mayor que 5 y 7 es menor que 10

7. Si Yolanda es estudiosa entonces pasará el examen

8. Si corro rápido entonces llegaré temprano

9. Terminaré rápido si y sólo si me doy prisa

10. Aprenderé Matemáticas si y sólo si estudio mucho

Nota: Se les llama términos de enlace o conectivos lógicos a las partículas:

No, o, y, si…entonces, si y solo si

Observemos que los conectivos: o, y, si…entonces, si y solo si, se usan para enlazar dos proposiciones, pero el conectivo no actúa sobre una sola proposición.

Ejercicios

Ensayemos clasificando la siguiente lista de proposiciones:

1) Carlos es culpable de homicidio. ( )

2) Santos no aprobó la ley 30. ( )

3) El 14 y el 7 son artículos del 90. ( )

4) El 14 es artículo del 90 y el 7 también es articulo del 90 ( )

5) El 2 o el 3 son divisores de 48. ( )

6) El 2 es divisor de 48 o el 3 es divisor de 48. ( )

7) Si x es número primo, entonces x impar. ( )

8) Si x > 10, entonces 2x - 3 > 16. ( )

9) No todas las leyes nuevas son constitucionales. ( )

10) Seré un buen abogado si y solo si estudio mucho ( )

12) Ganaré el caso sí y solo si presento pruebas ( )

CONECTIVOS LÓGICOS: NEGACIÓN, DISYUNCIÓN, CONJUNCIÓN, CONDICIONAL Y BICONDICIONAL.

A continuación se presenta una tabla con la expresión gramatical y el nombre del conectivo lógico que representa:

Tabla 1: tabla de conectores lógicos

Conectivo Nombre

No Negación

O Disyunción

Y Conjunción

Si…. entonces Condicional

Si y solo si Bicondicional

SIMBOLIZACIÓN DE PROPOSICIONES

Para simbolizar cualquier proposición es necesario saber como se simbolizarán las proposiciones simples y los conectivos. A las proposiciones simples las simbolizaremos con letras mayúsculas:

A, B, C,…, X, Y, Z

El nombre y símbolo de los conectivos se da en la tabla siguiente:

Conectivo Nombre Símbolo

No Negación -

O Disyunción V

Y Conjunción ᴧ

Si…. entonces Condicional →

Si y solo si Bicondicional ↔

Tabla 2: Símbolos de las proposiciones

Ejemplos

Simbolizar las proposiciones que se dan:

1. La ballena no es roja

En este ejemplo la proposición simple es: la ballena es roja, luego podemos proceder de la forma siguiente:

A=la ballena es roja

Y la simbolización para la proposición compuesta, al utilizar el símbolo correspondiente para el conectivo no, es:

A

Es importante tener presente que la negación siempre antecede a la proposición simple al dar la simbolización.

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