La rentabilidad de un proyecto se puede medir de muchas formas distintas: en unidades monetarias, en porcentaje o en el tiempo que demora la recuperación de la inversa,

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Cálculo y análisis de la rentabilidad

Conceptos básicos de matemáticas financieras

La rentabilidad de un proyecto se puede medir de muchas formas distintas: en unidades monetarias, en porcentaje o en el tiempo que demora la recuperación de la inversa, entre otras. Todas ellas se basan en el concepto del valor tiempo del dinero, que considera que siempre existe un costo asociado a los recursos que se utilizan en el proyecto, ya sea de oportunidad, si hay otras posibilidades de uso del dinero, ya sea financiero, si se debe recurrir a un préstamo.

En otras palabras, $1 de hoy vale más que $1 a futuro, por cuanto el peso recibido hoy puede invertirse inmediatamente para obtener una ganancia que el peso recibido a futuro no logra obtener.

Por ejemplo, $ 1.000 invertidos hoy al 10% anual permiten obtener una ganancia de $ 100 a recibir a un año más. Es decir, $1.000 de hoy equivalen a $1.100 de un año mas o, lo que es igual, $1.100 de un año más equivalen a $1.000 de hoy. Si los $1.100 se dejan invertidos por un segundo año, se obtiene una  ganancia de $110, correspondiente a 10% del capital invertido. Es decir, $1.000 de hoy equivalen a $1.210 de dos años después.

La solución a los 12 problemas principales donde deben aplicarse las matemáticas financieras es bastante más simple de lo que parece. En todos hay siempre dos variables, ya sea como datos o, una de ellas, como incógnita: el tiempo, y el interés o costo de capital. Dependiendo del problema, intervienen dos de las tres variables siguientes, y una de ellas siempre queda sin utilizar: un valor único al inicio del periodo en análisis, un valor único al final del periodo de análisis y una serie de valores iguales durante todo el periodo en análisis.

De esta manera, los 12 problemas se clasifican en tres grupos:

1. equivalencia entre un valor único inicial y un valor único final.
2. equivalencia entre una serie de pagos iguales y un valor único al producirse la última cuota.
3. equivalencia entre un valor único inicial y un aserie de pagos iguales a partir del periodo siguiente al del valor único inicial.

1. Equivalencia entre un valor único inicial y un valor único final

De las cuatro variables que intervienen en esta primera clasificación, cualquiera de ellas puede ser la incógnita, mientras que las otras tres deben proveer los datos.

Gráficamente, la relación entre estas variables se podría representar como sigue.

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El grafico muestra que un valor inicial crece con el paso del tiempo, ya sea porque debe pagarse un interés o porque se escribe un interés.

Matemáticamente, esta relación se resuelve por:

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Donde i es la tasa de interés pagado o cobrado (tasa),  y n es el número de periodos  entre el momento en que están expresados VA y VF

Ejemplo 1

Una empresa desea hacer uso de la línea de sobregiro automático que le ofrece su banco para financiar $10.000 que requiere para invertir en capital de trabajo de un nuevo proyecto, hasta que se genere los excedentes suficientes para que se autofinancie.

Si la tasa de interés real es de 10% y las proyecciones de caja estiman que cubrirán el sobregiro al finalizar el cuarto año de operación del proyecto, el monto adecuado en ese momento se determina por:

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Esto se demuestra fácilmente en la tabla 1

Calculo del valor futuro de un único flujo inicial

Como se pues  observar en la tabla 1, al final del primer año, los $10.000 del sobregiro aumentaron por el interés cobrado en $1.000 (10%), por lo que el periodo termina con una deuda de $11.000.  Un año después, el interés de 10% de sobre la deuda acumulada corresponde a $1.100, por lo que esta aumenta a $12.100. Al final del cuarto año, lo adeudado asciende a $14.641.

En una planilla electrónica, como Excel, por ejemplo, el VF se calcula directamente usando la opción insertar función, del menú formulas, se selecciona financieras en la categoría función y se elige VF en  el nombre de la función. También se puede marcar directamente el icono fx  al lado de la barra de fórmulas, que la figura 1 se muestra encerrado en un círculo.

en el cuadro de dialogo VF, el interés al que se requiere capitalizar el valor inicial se escribe en la casilla correspondiente a Tasa, el número de periodos en que se mantendrá la deuda se anota en la casilla Nper y el valor de la deuda adquirida inicialmente se coloca en la casilla VA. Marcando la opción Aceptar, se obtiene el valor futuro tal como se muestra en el cuadro de dialogo en la figura 2

Si lo que se busca es calcular el valor actual de un favor futuro (por ejemplo, para determinar cuánto se debe depositar hoy para lograr tener ahorrado un cierto monto después de un numero de periodos definido), se despeja el elemento VA de la ecuación 1, multiplicando el valor futuro por un factor de descuento que debe ser menor 1 y que se expresa como 1/.de esta forma, el valor actual de un valor futuro se obtiene de:[pic 7]

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Ejemplo 2

Para determinar cuánto se debe depositar hoy para lograr acumular $18.000 al final de cuatro años si un banco ofrece una tasa de interés a los depósitos de 10% anual, se reemplaza la ecuación 2 con estos valores y se obtiene:

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Igual que en el caso anterior, esto se demuestra haciendo el análisis  para cada año como se observa en la tabla 2.

Tabla 2 cálculo del valor actual de un flujo único al final n periodos

Es decir, si hoy se invierten $ 12.294, al final del primer año se habrán ganado intereses por $1.229(10%). al incrementarse el capital ahorrado en este monto, el interés de cada año siguiente crece en mayor medida que el de año anterior, permitiendo que al final del cuarto año la inversión inicial se haya transformado en $18.0000.

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