Laplace y la Teoría de la Probabilidad

Laplace y la Teoría de la Probabilidad.

Laplace también trabajó en la Teoría de la Probabilidad, y en particular dedujo el método de los mínimos cuadrados. Su "Théorie Analitique des Probabilités" se publicó en 1812.

La importancia concedida a la Teoría de las Probabilidades se constata en esta cita.

La primera formulación explícita del concepto de leyes del azar se debe al famoso matemático y físico Cardano, quien en 1526 establece, por condiciones de simetría, la equiprobabilidad de aparición de las caras de un dado a largo plazo. También se conserva un fragmento de Galileo, respondiendo a un jugador que le preguntó por qué es más difícil obtener 9 tirando tres dados que obtener 10, que pone de manifiesto que comprendió claramente el método de calcular probabilidades en el juego de dados. Sin embargo, tardaron todavía en aparecer los primeros tratados sobre el tema.

El caballero de Meré planteó a los principales matemáticos de la época diversos problemas relativos a juegos de azar, dando origen a numerosa correspondencia entre Pascal y Fermat. El principal de los problemas planteados consistía en cómo repartir equitativamente la apuesta entre jugadores de la misma destreza cuando se decide abandonar la partida antes de que finalice (situación que se daba muy a menudo, ya que el juego era ilegal). La condición que ambos jugadores acordaban al iniciar el juego era que ganaba la partida el primero en conseguir un determinado número de puntos.

Antes de Pascal y de Fermat nadie había establecido principios y métodos de resolución de problemas en los que interviniera el azar. Podemos, por tanto, citar a Laplace:

Es evidente que el reparto debe hacerse proporcionalmente a las respectivas probabilidades de ganar, las cuales dependen del número de puntos que resten para ganar la partida. Ambos matemáticos abordaron el problema usando distintos métodos. El método de Pascal consistía en el empleo de la ecuación en diferencias con el fin de determinar las probabilidades sucesivas de los jugadores, pasando de los números más pequeños a los siguientes. Este método estaba restringido al caso de dos jugadores. El de Fermat, en cambio, se podía extender a un número cualquiera de jugadores, estando basado en combinaciones. Pascal creyó en un principio que debía estar, como el suyo, restringido a dos jugadores, lo que motivó una discusión entre ellos. Finalmente Pascal reconoció la generalidad del método de Fermat.

Huyghens reunió los diversos problemas que ya habían sido resueltos junto con algunos otros en un pequeño tratado que es el primero que apareció sobre este tema y que lleva por título "De Ratiociniis in ludo aleae", que fue editada por N. Bernouilli. Posteriormente se ocuparon de ellos varios geómetras: Huddes y el pensionista Witt en Holanda y Halley en Inglaterra se centraron en estudios sobre la vida humana. Halley publicó en las Philosophical Transactions de 1693 una memoria titulada "An Estimate of the Degrees of The Mortality of Mankind, drawn from curious tables of the Births and Funerals at the City of Breslaw", donde aparece la primera tabla de mortandad.

Por la misma época, Jacques Bernouilli propuso a los geómetras diversos problemas de probabilidad cuyas soluciones ofreció después. Escribió su obra "Ars Conjetandi" que no pudo ver publicada cuando murió en 1706. No se publica hasta 1713, con un prefacio de su sobrino Nicolás. La obra está dividida en cuatro partes. La primera contiene una reimpresión y un comentario a la obra de Huyghens. La segunda está dedicada a la teoría de las combinaciones y permutaciones. La tercera consiste en la resolución de diversos problemas relativos a juegos de azar. La cuarta es una aplicación de la teoría de la probabilidad a problemas de economía y moral .

Hipótesis Nebular.

Laplace presentó su famosa hipótesis nebular en "Exposition du systeme du monde" en 1797, que formulaba que el sistema solar se creó de la contracción y enfriamiento de una gran nube aplastada de gas incandescente que giraba lentamente.

Su exposición del sistema del mundo contiene la hipótesis cosmogónica según la cual una nebulosa primitiva habría ocupado el emplazamiento actual del sistema solar rodeando como una especie de atmósfera un núcleo fuertemente condensado, a temperatura muy elevada y girando alrededor de un eje que pasaría por su centro; el enfriamiento de las capas exteriores, unido a la rotación del conjunto habría engendrado en el plano ecuatorial de la nebulosa unos anillos sucesivos, mientras que el núcleo central formaría el Sol.

La materia de cada uno de los anillos daría por condensación en uno de sus puntos un planeta, que por el mismo procedimiento, engendraría los satélites: el anillo de Saturno sería un ejemplo de esta fase intermedia.

Laplace descubrió la invariabilidad de los movimientos medios planetarios. En 1786 probó que las excentricidades e inclinaciones de las órbitas planetarias entre sí, siempre permanecen pequeñas, constantes y además se autocorrigen. Estos resultados aparecen en la mayor de sus obras "Traité du Mécanique Céleste" publicado en cinco volúmenes a lo largo de 26 años (1799-1825).

Principales Aportaciones de Laplace

• Exposition du systeme du monde (1796),

En esta obra se presenta, de forma resumida, la historia de la astronomía. Se suele considerar este texto como una de las obras maestras de la literatura en su idioma y procura a su autor el honor de entrar en la Academia Francesa en 1816. Demuestra que los movimientos planetarios son estables y que las perturbaciones producidas por la influencia mutua de los planetas o por cuerpos externos, como los cometas, solamente son temporales. Trata de dar una teoría racional del origen del Sistema Solar en su hipótesis nebular de la evolución estelar.

• Traite de mecanique celeste (1799-1825),

Con el Tratado de Mecánica Celeste, monumental obra en 5 volúmenes publicados entre 1799 y 1825, se culmina el trabajo de más de un siglo de duración durante el cual los científicos intentarón dar una explicación matemática de la teoría de la gravitación universal basada en los principios de Newton.

• Théorie Analytique des Probabilités (1812)

Con la Teoría Analítica de las Probabilidades, expone los principios y las aplicaciones de lo que él llama "geometría del azar". Esta obra representa la introducción de los recursos del análisis matemático en el estudio de los fenómenos aleatorios y recopila toda una serie de memorias publicadas desde 1771.

Laplace expresa de forma sencilla el significado del cálculo de probabilidades:

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