Las matrices

Matrices

Las matrices son usadas en matemáticas discretas para expresar relaciones entre objetos.

Definición :Concepto de matriz Una matriz es un ordenación rectangular de números. Una matriz con m filas y n columnas es llamada una matriz de tamaño m x n.

Ejemplo:

Es una matriz de tamaño 4 x 3 Se emplean los paréntesis cuadrados con el fin de considerar la ordenación rectangular de números como una entidad.

Ahora introduciremos alguna terminología acerca de matrices.

En general una matriz A de tamaño m x n frecuentemente se escribe así:

La i–ésima fila de A es la matriz de tamaño 1 x n,

La j–ésima columna de A es la matriz de tamaño n x 1,

El elemento, o entrada , de A es el número , es decir, el número que se encuentra localizado en la i–ésima fila y j–ésima columna de A,

Una notación abreviada para expresar la matriz A es escribir , lo cual indica que A es una matriz de tamaño m x n, y su elemento y su elemento es igual a .

Ejemplo:

Consideremos la matriz

Sus filas son

Y sus columnas

Algunos de sus elementos son

Definición: Matriz cuadrada Una matriz A de tamaño n x n, es decir, cuando el número de filas es igual al número de columnas, se denomina una matriz cuadrada de orden n.

En una matriz cuadrada A de orden n los elementos se denominan elementos diagonales, y se dice que forman la diagonal principal de A.

Ejemplo:

La siguiente es una matriz cuadrada de orden 3

Sus elementos diagonales son:

Definición: Igualdad entre matrices.

Dos matrices y (del mismo tamaño) son iguales si todos los elementos correspondientes son iguales, esto es, si

Ejemplo:

Hallar si

Por la definición de igualdad entre matrices, tenemos:

Despejando en las ecuaciones anteriores, tenemos:

Operaciones entre matrices

Definición: Suma de matrices Sean y y . La suma de A y B es la matriz definida por

Esto es, la suma de dos matrices del mismo tamaño es la matriz de ese mismo tamaño obtenida al sumar los correspondientes elementos deA y B. La matrizCse denota por A+B. Por lo tanto,

Ejemplo:

Sean

y

Entonces

Ejemplo:

La suma

No esta definida por que las matrices son de tamaño diferente.

Definición: Matriz cero. Una matriz en que todos sus elementos son cero se denomina matriz cero (o matriz nula) y se denota por 0.

El tamaño de la matriz 0 será evidente dentro del contexto en el cual se use.

Ejemplo:

Las siguientes matrices son todas cero:

El siguiente teorema enuncia las propiedades básicas de la suma de matrices.

Teorema SeanA, B, yCmatrices de tamaño m x n. Entonces

Demostración:

Sean

Debemos demostrar que:

Para probar esta igualdad, por definición de igualdad entre matrices, tenemos que mostrar que los elementos correspondientes de F y G son iguales.

Para esto demostramos las matrices por:

Veamos que

Teniendo en cuenta las notaciones anteriores y la definición de suma entre matrices obtenemos:

Ejercicio: Demostrar las otras partes del teorema anterior.

Definición: Producto de matrices

Sea y sea

El producto de A y B es la matriz definida por

La matriz C se denota por AB.

En la siguiente figura, hemos resaltado la fila de A y la columna de B que son usadas para calcular el elemento cij de AB.

Nótese que el producto de una matriz A con una matriz B solamente se define cuando el número de columnas de A es igual al número de filas de B. Además el tamaño de la matriz producto es:

Ejemplo:

Hallar el producto de

El producto está definido pues el número de columnas de A es igual al número de filas de B. El producto AB, de tamaño 2 x 4 es de la forma:

Donde

La multiplicación de matrices no es conmutativa. Es decir, si A y B son matrices, no necesariamente se cumple que AB y BA sean iguales. En realidad, puede pasar que únicamente uno de estos dos productos este definidos. Por ejemplo, sí A es de tamaño 2 x 3 y B es de tamaño 3 x 4, mientras que BA no está definida, puesto que es imposible multiplicar una matriz de 3 x 4 y una matriz de 2 x 3.

En general, supongamos que A es una matriz de m x n y B es una matriz de r x s. Entonces AB está definida únicamente cuando n = r y BA está definida solamente cuando s =m. Por otra parte, cuando AB y BA están definidas, ellas no son del mismo

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