Los Numeros Reales

LOS NÚMEROS REALES TEMA 1

IDEAS SOBRE CONJUNTOS

Partiremos de la idea natural de conjunto y del conocimiento de si un elemento pertenece (* ) o no pertenece (* ) a un conjunto.

• Los conjuntos se pueden definir por:

EXTENSIÓN:

Cuando se enumeran todos los elementos que componen el conjunto. A = { 1, 2, 3, 4, 5 }

COMPRENSIÓN:

Cuando se da una propiedad que caracteriza a todos sus elementos de forma única

A = { x * * / x < 6 } = { x * * / x* 5 }

B = { x * * / x es par }

C = { x * Z / -7 * x * 7 }

• SÍMBOLO * (CONTENIDO): El conjunto A está contenido en el conjunto B, cuando todos los elementos de A son también de B y se escribe A * B

• OPERACIONES CON CONJUNTOS:

UNIÓN (U): A U B = {x / x * A y / o x * B} Es el conjunto formado por todos los elementos que son de A y los que son de B.

Si se tienen los conjuntos A = {x * * / x < 6} y B = {1, 3, 5, 7, 9} entonces

A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}

INTERSECCIÓN (*): A * B = {x / x * A y x * B} Es el conjunto formado por todos los elementos que son de A y de B a la vez. En el ejemplo anterior A * B = {1, 3, 5}

COMPLEMENTARIO (A): El complementario de un conjunto A es el conjunto

A = {x / x * A}. El complementario del conjunto A dl ejemplo anterior es A = { x * * / x > 7 }

DIFERENCIA: A - B = {x / x * A y x * B} En el ejemplo anterior A - B = { 2, 4 }

LOS NÚMEROS NATURALES *

Los números naturales son: * = {0, 1, 2, 3, ••••••••} es un conjunto infinito y se representan en una semirecta.

LOS NÚMEROS ENTEROS Z

Los números enteros son: Z= {•••••••- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, •••••••} es un conjunto infinito y se representan en una recta. * * Z

LOS NÚMEROS RACIONALES Q

Los números racionales son aquellos que pueden expresarse en forma de fracción de dos enteros.

es un conjunto infinito y Z * Q ya que

Se representan en una recta.

• Los enteros se representan como enteros.

• Los positivos y menores que la unidad:

se representan entre el 0 y el 1 utilizando el teorema de Tales

• Los positivos y mayores que la unidad

,

es un numero comprendido entre el 2 y el 3. Se dibuja:

• Los negativos mayores que - 1:

se dibuja:

• Los negativos menores que -1:

.

Es un número comprendido entre - 4 y -3. Se dibuja:

EXPRESIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO RACIONAL.

La expresión decimal de un número racional se obtiene dividiendo el numerador entre el denominador de su expresión fraccionaria. y los números que se obtienen son:

• Enteros:

• Decimal exacto:

• Decimal infinito periódico.

• Periódico puro:

• Periódico mixto:

= 2,96666666•••••••

EXPRESIÓN FRACCIONARIA DE UN NÚMERO DECIMAL

• Entero:

• Decimal exacto:

luego se ha de simplificar.

• Decimal infinito periódico:

• Periódico puro: x =

100 x = 135,353535••••••••••

x = 1,353535••••••••••

99 x = 135 - 1 99 x = 134

• Periódico mixto: x =

1000 x = 1318,181818•••••••••

10 x = 13,181818•••••••••

990 x = 1318 - 13 990 x = 1305

LOS NÚMEROS IRRACIONALES *

Son aquellos que no pueden ser expresados en forma de fracción de dos enteros. Por ejemplo:

La expresión decimal de los números irracionales es infinita no periódica y por lo tanto los números decimales infinitos no periódicos no pueden expresarse en forma de fracción y por tanto son irracionales.

Hay muchos números irracionales, como:

;

;

;.....; * = 3,14159••••••••, e = 2.71828•••••••

;

REPRESENTACIÓN DE ALGUNOS NÚMEROS IRRACIONALES.

LOS NÚMEROS REALES *

Los números reales son: * = * U Q y por lo tanto * * * y Q * *

Los números reales se representan en la recta real (los racionales y los irracionales) y llenan todos los puntos que esta recta tiene

ORDENACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES

a < b significa que b - a > 0

a * b significa que b - a * 0

PROPIEDADES

• Si a < b entonces a + c < b + c y a - c < b - c

• Si a < b y c > 0 entonces a • c < b • c y

• Si a < b y c < 0 entonces a • c > b • c y

• Si a < b entonces

Esta propiedad vale para los números racionales

Estas propiedades sirven para *.

INTERVALOS DE LA RECTA REAL

Intervalos son conjuntos de números reales que coinciden con tramos de la recta real. Para ello hay una notación específica. Hay distintos tipos de intervalos:

Intervalos abiertos:

{X / 3 < x < 7} = (3, 7)

{X / x < 7 } = (- *, 7)

{ x / x > 3 } = (3, *)

Intervalos cerrados:

{ x / 3 * x * 7 } = [3, 7]

Intervalos semiabiertos por la derecha o semicerrados por la izquierda:

{ x / 3 * x < 7 } = [ 3, 7 );

{ x / x * 3 } = [ 3, * )

Intervalos semiabiertos por la izquierda o semicerrados por la derecha:

{ x / 3 < x * 7 } = ( 3, 7]

{ x / x * 7 } = ( - *, 7]

INECUACIONES

Consiste en encontrar TODOS los números que verifican una desigualdad. Ejemplo - 3 x + 2 < 3

INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA.

Para resolverlas se han de aplicar las propiedades de la ordenación de los números reales.

Y se han de seguir los siguientes pasos:

• Se quitan denominadores si los hubiera.

• Se aísla la incógnita en el miembro en quede positiva con el sistema de lo que está sumando pasa al otro miembro restando y lo que está restando pasa al otro lado sumando.

• Lo que está multiplicando (que será positivo) pasara al otro miembro dividiendo y lo que está dividiendo ( que será positivo ) pasa multiplicando.

• La solución, si existe, se dará en forma de operación de intervalos.

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA.

El método para resolverlas es la siguiente:

• Se quitan denominadores si los hubiera.

• Se ordena en un miembro de la igualdad.

• Sustituimos el signo de desigualdad por el de igualdad, y se resuelve la ecuación de segundo grado.

• Los valores obtenidos se representan en la recta.

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