MATEMÁTICAS Y ECONOMÍA EN EL LEGADO DE LEONID KANTOROVICH

Владикавказский математический журнал

2012, Том 14, Выпуск 1, С. 7-21

MATEMÁTICAS Y ECONOMÍA

EN EL LEGADO DE LEONID KANTOROVICH

SS Kutateladze

Esta es una breve descripción de la vida de Leonid Kantorovich y su contribución a la formación de la perspectiva moderna sobre la interacción entre matemáticas y economía.

Clasificación de asignaturas de matemáticas (2000): 01A70.

Palabras clave: programación lineal, análisis funcional, matemáticas aplicadas.

El camino de

Kantorovich Kantorovich nació en la familia de un venereólogo en San Petersburgo el 19 de enero de 1912 (6 de enero, según el antiguo estilo ruso). Es curioso que muchos libros de referencia den otra fecha (que es tres días antes). Kantorovich seguía explicando con una sonrisa que se recuerda a sí mismo del 19 de enero de 1912. El talento del niño se reveló muy temprano. En 1926, con solo 14 años, ingresó en la Universidad Estatal de San Petersburgo (entonces Leningrado) (SPSU). Pronto comenzó a participar en un círculo de GM Fikhtengolts para estudiantes y en un seminario sobre teoría de funciones descriptivas. Es natural que los primeros años académicos formaran su primer entorno: DK Faddeev, IP Natanson, SL Sobolev, SG Mikhlin y algunos otros con los que Kantorovich fue amigo durante toda su vida también participaron en el círculo de Fikhtengolts. Los viejos compinches lo llamaban “L¨enechka” desde estos días.

Después de graduarse de SPSU en 1930, Kantorovich comenzó a enseñar, combinándolo con una intensa investigación científica. Ya en 1932 se convirtió en profesor titular en el Instituto de Ingenieros de Construcción Industrial de Leningrado y profesor asistente en SPSU. Desde 1934, Kantorovich fue profesor titular en su alma mater.

Los principales logros en matemáticas pertenecen al período "Leningrado" de la vida de Kantorovich. En la década de 1930 publicó más artículos sobre matemáticas puras, mientras que los años cuarenta los dedicó a la matemática computacional en la que pronto fue apreciado como líder en este país.

La carta del académico NN Luzin, escrita el 29 de abril de 1934, fue encontrada en el archivo personal de Kantorovich hace unos años durante la preparación de sus obras seleccionadas para su publicación (ver [1]).

Esta carta demuestra la actitud de Luzin, uno de los matemáticos más eminentes e influyentes de la época, ante la brillantez del joven prodigio. Luzin fue el fundador y líder de la famosa escuela de moscovitas “Lusitania”. Comentó en su

carta:.. . debes conocer mi actitud hacia ti. No te conozco completamente como hombre pero supongo que una personalidad cálida y admirable.

Sin embargo, una cosa sé con certeza: el rango de sus poderes mentales que, en la medida en que me acostumbré a adivinar a las personas, abren posibilidades ilimitadas en la ciencia. Lo haré

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no pronuncia la palabra adecuada - ¿para qué? Talento: esto te menospreciaría. Tiene derecho a obtener más. . .

En 1935, Kantorovich hizo su principal descubrimiento matemático: definió los espacios K, es decir, retículas vectoriales cuyo subconjunto acotado de cada orden no vacío tenía un mínimo y un supremo. Los espacios de Kantorovich han proporcionado el marco natural para desarrollar la teoría de las desigualdades lineales, que era un área de investigación prácticamente inexplorada en esos días. El concepto de desigualdad es obviamente relevante para los cálculos aproximados donde siempre estamos interesados ​​en varias estimaciones de la precisión de los resultados. Otra fuente desafiante de interés en las desigualdades lineales fue el conjunto de problemas económicos. El lenguaje de la comparación parcial es bastante natural cuando se trata de lo que es razonable y óptimo en el comportamiento humano cuando los medios y las oportunidades son escasos. Finalmente, el concepto de desigualdad lineal es inseparable de la idea clave de un conjunto convexo. El análisis funcional implica la existencia de un funcional lineal continuo no trivial sobre el espacio en consideración, mientras que la presencia de un funcional de este tipo equivale a la existencia de un subconjunto convexo abierto propio no vacío del espacio ambiental. Además, cada conjunto convexo es genéricamente el conjunto solución de un sistema apropiado de desigualdades lineales simultáneas.

A finales de la década de 1940, Kantorovich formuló y explicó la tesis de la interdependencia entre el análisis funcional y las matemáticas aplicadas:

ahora existe una tradición de ver el análisis funcional como una disciplina puramente teórica alejada de las aplicaciones directas, una disciplina que no puede ocuparse de cuestiones prácticas. ciones. Este artículo1es un intento de romper con esta tradición, al menos en cierta medida, y de revelar la relación entre el análisis funcional y las cuestiones de la matemática aplicada. . .

Distinguió las tres técnicas: el método de Cauchy de los mayores también llamado dominación, el método de aproximaciones de dimensión finita y el método de Lagrange para los nuevos problemas de optimización motivados por la economía.

Kantorovich basó su estudio de las versiones espaciales de Banach del método de Newton en la dominación en espacios vectoriales ordenados en general.

La aproximación de espacios y operadores de dimensión infinita por sus análogos de dimensión finita, que es la discretización, debe considerarse junto con la maravillosa comprensión universal de la matemática computacional como la ciencia de las aproximaciones finitas a la compacta general (no necesariamente metrizable).2 

La novedad de los problemas extremos que surgen en las ciencias sociales está relacionada con la presencia de funciones de utilidad multidimensionales contradictorias. Esto plantea el principal problema de acordar objetivos en conflicto. Las técnicas correspondientes pueden verse como una instancia de escalarización de objetivos con valores vectoriales.

Desde finales de la década de 1930, la investigación de Kantorovich adquirió nuevos rasgos en su audaz avance hacia la economía. El folleto de Kantorovich Métodos matemáticos en la organización y planificación de la producción, que apareció en 1939, es una evidencia material del nacimiento de la programación lineal. La programación lineal es una técnica de maximizar un funcional lineal sobre las soluciones positivas de un sistema de desigualdades lineales. No es de extrañar que el descubrimiento de la programación lineal fuera inmediato después de la fundación de la teoría de los espacios de Kantorovich.

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