MATRICES

MATRICES

En matemática, una matriz es un arreglo bidimensional de números, y en su mayor generalidad de elementos de un anillo. Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base). Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices.

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.

Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

Ejemplo

Dada la matriz

Es una matriz de tamaño . La entrada es 7.

La matriz

Es una matriz de tamaño : un vector fila con 9 entradas.

TIPOS DE MATRICES

• Matriz fila

Una matriz fila está constituida por una sola fila.

• Matriz columna

La matriz columna tiene una sola columna

• Matriz rectangular

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

• Matriz traspuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

(At)t = A

(A + B)t = At + Bt

(α •A)t = α• At

(A • B)t = Bt • At

• Matriz nula

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

• Matriz cuadrada

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de la matriz.

Tipos de matrices cuadradas

• Matriz triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

• Matriz triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

• Matriz diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son nulos.

• Matriz escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

• Matriz identidad o unidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

• Matriz regular

Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.

• Matriz singular

Una matriz singular no tiene matriz inversa.

• Matriz idempotente

Una matriz, A, es idempotente si:

A2 = A.

• Matriz involutiva

Una matriz, A, es involutiva si:

A2 = I.

• Matriz simétrica

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = At.

• Matriz antisimétrica o hemisimétrica

Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = −At.

• Matriz ortogonal

Una matriz es ortogonal si verifica que:

A • At = I.

OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES

Las operaciones que se pueden hacer con matrices provienen de sus aplicaciones, sobre todo de las aplicaciones en álgebra. De ese modo las operaciones, o su forma muy particular de ser implementadas, no son únicas.

SUMA DE MATRICES

Dadas dos matrices de la misma dimensión, A= (aij) y B= (bij), se define la matriz suma como: A+B= (aij+bij). Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.

PROPIEDADES

• Interna:

• Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C

• Elemento neutro: A + 0 = A

• Elemento opuesto: A + (−A) = O

• Conmutativa: A + B = B + A

PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ

Dada una matriz A= (aij) y un número real k R, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.

kA=(k aij)

PROPIEDADES

• a • (b • A) = (a • b) • A A Mmxn, a, b

• a • (A+B) = a • A + a • B A,B Mmxn , a

• (a+b) • A = a • A+b • A A Mmxn , a, b

• 1 • A = A A Mmxn

PRODUCTO DE MATRICES

Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B. Mm x n x Mn x p = M m x p

El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

PROPIEDADES

• Asociativa:

A • (B • C) = (A • B) • C

• Elemento neutro:

A • I = A

• No es Conmutativa:

A • B ≠ B • A

• Distributiva del producto respecto de la suma:

A • (B + C) = A • B + A • C

MATRIZ INVERSA

• A • A−1 = A−1 • A = I

PROPIEDADES

• (A • B)−1 = B−1 • A−1

• (A−1 ) −1 = A

• (k • A)−1 = k−1 • A−1

• (A t) −1 = (A −1) t

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

En Matemáticas se define el determinante como una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

MÉTODOS DE CÁLCULO

Para el cálculo de determinantes de matrices de cualquier orden, existe una regla recursiva (teorema de Laplace) que reduce el cálculo a sumas y restas de varios determinantes de un orden inferior. Este proceso se puede repetir tantas veces como sea necesario hasta reducir el problema al cálculo de múltiples determinantes de orden tan pequeño como se quiera. Sabiendo que el determinante de un escalar es el propio escalar, es posible calcular el determinante de cualquier

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