Matemáticas, Que Es Un número

¿Alguien sabe que es número?

(Extracto)

1. Introducción

Uno de los temas de estudio usuales en el programa de formación inicial de maestros es

“Números naturales. Sistemas de numeración”, cuyo objetivo es la profundización por parte del

estudiante del concepto de número natural y sus usos y de las relaciones con los sistemas de

símbolos que los representan. Parece razonable que cuando preguntemos a un estudiante, ¿qué

son los números naturales?, no se limiten a recitar la serie 1, 2, 3,…, sino que sean capaces

discriminar entre el concepto “número” de los símbolos y las palabras mediante los cuales se

expresan. Sin embargo, es también esperable que no sean capaces de dar una definición de la

noción de “número natural”. Esto no debe sorprendernos: el concepto de número natural ha sido

motivo de fuertes controversias filosóficas; de hecho, la conceptualización actual es relativamente

reciente (data de finales del siglo XIX y principios del XX). Asimismo, para cualquier concepto

matemático, podemos encontrar distintas definiciones coherentes entre sí, pero que resaltan un

determinado aspecto del número.

La naturaleza de los números naturales, y en particular su relación con los conjuntos, es

una cuestión que interesa tanto a las matemáticas como a la filosofía de las matemáticas. Pero

los números

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son también herramientas esenciales en nuestra vida cotidiana y profesional, por lo

que constituyen un tema de estudio imprescindible en la escuela desde los primeros niveles. El

maestro debe tener, por tanto, ideas claras sobre los usos de los números, los sistemas de

numeración, los procedimientos de cálculo, así como sobre el origen y naturaleza de los

números.

En este trabajo, a partir de un episodio de clase en la formación de maestros, abordamos

el estudio de las relaciones entre las nociones conjuntistas y los números naturales.

Consideramos necesario distinguir entre los usos prácticos e “informales” de los números

(responder cuestiones tales como, ¿cuántos elementos hay? o ¿qué lugar ocupa un objeto?), y

los usos “formales” (qué son los números y cómo se construyen los sistemas numéricos);

cuestiones estas últimas, relativas a los fundamentos de la matemática como cuerpo organizado

de conocimientos. Dentro de estos dos grandes contextos de uso es posible distinguir diversos

momentos históricos en los cuales las cuestiones se abordan con diversos recursos y desde

distintas aproximaciones, poniéndose en juego prácticas operativas y discursivas propias. Vistos

de manera retrospectiva podemos identificar ciertas invariancias que permiten hablar del “número

natural”, en singular, pero desde un punto de vista local parece necesario distinguir entre los

diversos números naturales que “manejaron” los pueblos primitivos y culturas antiguas (egipcios,

romanos, chinos,…), como también entre las prácticas numéricas que se realizan actualmente en

la escuela infantil o primaria, y las que realizan los matemáticos logicistas del siglo XIX o las

formulaciones axiomáticas hilbertianas.

"En vano aplicaremos nosotros, los occidentales, nuestro propio concepto científico

del número, violentamente, al objeto de que se ocupaban los matemáticos de Atenas

y Bagdad; es lo cierto que el tema, el propósito y el método de la ciencia que en

estas ciudades llevaba el mismo nombre, eran muy diferentes de los de nuestra

matemática. <<No hay una matemática; hay muchas matemáticas>>." (Spengler,

1918, 96).

Así pues, la comprensión de la naturaleza y significado de los números requiere adoptar

una visión antropológica sobre la matemática, como la propuesta, entre otras aproximaciones,

por el “enfoque ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemática” (Godino, Batanero y

Font, 2007). Esta es la razón por la que en la sección 3 incluimos algunas ideas básicas sobre

este marco teórico, las cuales son seguidamente aplicadas a discernir las características

principales de los significados informales y formales de los números.

Comenzamos presentando el episodio de clase mencionado

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, que nos va a servir de

motivación inicial para el abordaje de este problema.

2. El episodio de clase

Incluimos, a continuación, un extracto de una interacción profesor-estudiantes de maestro

en torno a la coexistencia, no siempre coherente, de concepciones diversas de los números

naturales. El episodio es una muestra de los conflictos semióticos tanto de los estudiantes como

del propio formador.

[El formador comienza la clase sobre “los números naturales” expresando]:

Trabajaremos primero el concepto de número, la idea, y después pensaremos en el idioma

en que podemos escribirlo. ¿Qué son los números?, por ejemplo: ¿Qué es el número cinco?

Se nos presenta un problema, utilizamos los números desde muy pequeños. Sin embargo,

se nos pregunta, ¿qué es un número?, y tenemos dificultad para responder.

[Pregunta a los estudiantes]

¿Alguien sabe qué es un número?

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[Un alumno responde]

“Un signo que designa una cantidad”.

[El profesor vuelve a preguntar],

“¿Qué es el número cuatro?”

[Los alumnos no responden].

[El profesor escribe en la pizarra el símbolo "4" y dice]:

Esto no es más que un signo. ¿Cuál sería la idea que hay detrás de esto?, ¿Cómo podría

definirlo?

[El profesor se responde]

Si quiero comunicar qué significa el número cuatro ponemos ejemplos de grupos que

vengan de cuatro en cuatro, como por ejemplo: cuatro tizas, cuatro dedos, cuatro personas,

cuatro sillas, etc. Lo que tienen de común todos estos conjuntos es lo que llamamos la

idea de ser cuatro.

¿De qué manera se trabaja en Educación infantil y en Educación primaria? Se empieza a

mostrar los números como útiles, pero como futuros maestros, lo vamos a tomar como

objeto de estudio.

[Continúa la clase explicando la construcción logicista de los números naturales como

conjunto de las clases de equivalencia de conjuntos finitos obtenidas mediante la relación de

equipotencia o coordinabilidad de conjuntos]

[El profesor, mientras dice “vamos a partir de dos conjuntos” escribe

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