Material de estudio - Matemática 1er año

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Material de estudio - Matemática 1er año

Números naturales y números enteros

1er. Lapso – Escolaridad 2015-2016

1-Números naturales:

1.1-Origen de los números naturales:

El hombre desde principios de la evolución siempre utilizó recursos para facilitar su relación con el medio que lo rodea; para contar cantidades utilizaba piedras, hacía marcas en los árboles y huesos o nudos en sogas. El pensamiento matemático nació por la necesidad de enumerar las cosas, contabilizar objetos y controlar el paso del tiempo. Contar es identificar los elementos de un conjunto, por ejemplo piedras, los números naturales cuentan y ordenan: uno, dos, tres, cuatro...Los números, y en general las matemáticas, han ayudado muchísimo en la tarea de desarrollar una manera de pensar ordenada. Los números naturales hicieron su primera aparición aproximadamente 4.000 años A.C, en Mesopotamia. Fueron los primeros números que surgieron, esto es debido a que su función, la de contar elementos, es la más primaria, al mismo tiempo que la más importante; y es que sin estos números naturales, el hombre no habría desarrollado la habilidad de contar, algo que empleamos todos los días de nuestra vida.

1.2-Definición de números naturales:

Los números naturales son simplemente 1, 2, 3, 4, 5, … en tal sentido son los números que utilizan para “contar” normalmente sin el cero (0).

1.3-Conjunto de los números naturales:

El conjunto de los números naturales se denota por N = {1, 2, 3, 4, ...∞}. En sentido estricto, este conjunto no contiene al cero.

1.4-Opeaciones con números naturales:

Se sabe que con los números naturales se pueden sumar y multiplicar, pero no siempre se puede restar o dividir.

Con los ejemplos de resta y división expuestos en el cuadro anterior, se pude observar que existen limitaciones con el conjunto de números naturales, para efectuar dichas operaciones matemáticas, en tal sentido se requiere otro tipo de números los cuales serán llamados “números enteros”.

1.5-Importancia de los números naturales:

No hay que olvidar que fueron los primeros números que surgieron, esto es debido a que su función, la de contar elementos, es la más primaria, al mismo tiempo que la más importante; y es que sin estos números naturales, el hombre no habría desarrollado la habilidad de contar, algo que empleamos todos los días de nuestra vida, lo que indica que los números naturales son un conjunto ordenado.

2-Números enteros:

2.1-Origen histórico de los números enteros:

Aunque hoy en día se aprende a utilizar los números positivos, los negativos y el cero a partir del 1er año de educación media, por muchos años en tiempos pasados, hasta los más famosos matemáticos en Europa se negaron a aceptar la existencia de números negativos. Los llamaban números absurdos.

En China como en la India, los matemáticos trabajaron desde tiempos muy remotos con cantidades negativas. Para ellos, la Matemática servía no sólo para representar cantidades de cosas concretas o distancias entre objetos sino también para representar leyes universales que regían tanto el mundo material como el espiritual. Para los chinos, el mundo era un movimiento constante en busca del equilibrio entre fenómenos opuestos: el día y la noche, el hombre y la mujer, la alegría y la tristeza, el frío y el calor, etc. Esta visión les hacía pensar con la mayor naturalidad que a cada número positivo le correspondería su opuesto, es decir, el número que al añadírsele diera como resultado el equilibrio absoluto, lo que no es positivo ni negativo: el cero. Es interesante el hecho de que ni los matemáticos egipcios ni los griegos, con todo lo brillantes que eran, llegaron a concebir un símbolo para representar la nada. Tampoco en los números romanos existe el cero. Poco a poco, el sistema de numeración creado por los hindúes, que incluía un símbolo para el cero, fue adoptado por los europeos. Pero los números "absurdos'' de los hindúes (es decir, los negativos) tardaron mucho más que el cero en aceptarse y utilizarse tal como lo hacemos hoy. Para los hindúes, los números negativos tenían un sentido práctico: el de las deudas. En el comercio, se separan las deudas de las ganancias claramente, para llevar cuenta del movimiento del dinero. Ciertamente, en los tiempos que siguieron al descubrimiento de América, con el florecimiento del comercio en Europa, comercio que prosperó gracias a las inmensas riquezas que iban de nuestro continente hacia allá, se hizo cada vez más frecuente el uso de los números negativos, por la mayor facilidad que estos brindaban para llevar las cuentas. Además, con el interés cada vez mayor de los matemáticos europeos. En tal sentido los números negativos pueden aplicarse en distintos contextos de la vida, como la representación de deudas, profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, entre otros. Inicialmente el primer campo de aplicación fue la contabilidad donde los números negativos significaban deudas y los positivos haberes o activos poseídos. El hecho de que un número sea entero, significa que no tiene parte decimal.

2.2- Definición:

El conjunto de los números enteros está constituido por todos los números naturales ó positivos, todos los opuestos a los naturales, también llamados los negativos, y el cero, que no es positivo ni negativo. Este conjunto se denota con la letra Z, e incluye como subconjunto al de los números naturales N; es decir: N Z[pic 3]

2.3-Cojunto de los números enteros:

Los enteros se representan gráficamente en la recta de números enteros como puntos a un mismo espacio entre sí desde menos infinito, hasta más infinito: Z= {-∞...-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... +∞} los números enteros no tienen principio ni fin. Ubicando sobre una recta los elementos de Z, quedarían representados de la siguiente forma: [pic 4]

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