Matemáticas Décimo año

FUNCIONES

Observemos los siguientes ejemplos:

1) La siguiente gráfica representa la altura y , con el paso del tiempo x , a la que se encuentra un globo de hidrógeno que se ha soltado y que se va elevando hasta que estalla:

2) La siguiente tabla representa la variación y del área de un cuadrado en función de la medida x del lado:

Medida del lado (x cm) Área del cuadrado (y cm2)

2 4

3,5 12,25

4 16

5,2 27,04

30

3) En una prueba de frenos de un auto en un camino seco, se encuentra que la relación entre la distancia de frenado, y, con la velocidad del auto, x, puede representarse mediante la fórmula y = 0,012 x2; y se mide en m y x se mide en km/h.

En estos tres ejemplos, observamos una relación entre dos magnitudes, x e y. El valor que adopta una de ellas (y) depende del valor asignado a la otra (x). Por esta razón, decimos que y es la variable dependiente y que x es la variable independiente, y podemos escribir y = f(x) , lo que indica que el valor y es obtenido a partir del valor x mediante la aplicación de la función f.

Para que una relación entre dos variables numéricas pueda ser considerada una función, es necesario que a cada valor de la variable independiente le corresponda un único valor de la variable dependiente. En símbolos:

Decimos que f es una función de un conjunto A en otro conjunto B , y escribimos f : A  B , si y sólo si

Consideremos una función f : A  B . Diremos que:

• el conjunto A de los valores a los cuales está permitido aplicar f es el dominio de la función; en símbolos: A = Dom( f ).

• el conjunto B es el codominio de la función; en símbolos B = Cod( f ).

En general, vamos a trabajar con funciones f : A  B donde A y B (dominio y codominio) son conjuntos numéricos.

Cuando se da una expresión de una función, como por ejemplo , y no se dice cuál es el dominio de f , se entiende que el dominio de f es el mayor conjunto numérico donde tenga sentido la expresión de la función. En este ejemplo, el dominio de f es el conjunto ℝ de los números reales, porque a todos los números reales se los puede elevar al cuadrado, obteniendo también un real.

Ejemplo: Tomemos f(x) = . Para hallar el dominio tenemos que preguntarnos: ¿a qué números le podemos aplicar la expresión de f ?

En este caso, la pregunta es ¿a qué números les podemos calcular la raíz cuadrada?

Sabemos que éstos son los números mayores o iguales a 0. Por lo tanto, decimos que el dominio de f son los números mayores o iguales a 0. En símbolos: Dom(f) = [0,+).

Actividad:

Determinar el dominio de las siguientes funciones y calcular, cuando sea posible, f(4), f(0) y f(–9):

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Observación: A todo elemento x del dominio A le corresponde un elemento y de B. Sin embargo, pueden existir elementos y  B que no se puedan obtener de ningún elemento x de A . Por ejemplo: consideremos la función tal que f(x) = 2x. Notemos que los y que se obtienen mediante la aplicación de f sobre todos los números enteros son todos números pares. Luego, existen elementos en el codominio (Z), por ejemplo el número 3, que no tienen la forma f(x), para .

Estos nos lleva a definir un nuevo concepto: la imagen de una función.

Llamaremos imagen de una función al subconjunto de B que se obtiene mediante la aplicación de f a todos los elementos de A. En símbolos: Im( f ) = { y  B :  x  A / f(x) = y }.

En el ejemplo anterior, tal que f(x) = 2x:

• Dom( f ) = Z

• Cod( f ) = Z

• Im( f ) = { y  Z : y = 2t, t  Z}, es decir, el conjunto de los números pares.

Representación gráfica de una función

Las funciones de la forma se pueden representar mediante una gráfica sobre unos ejes llamados ejes coordenados. Al eje horizontal se lo suele llamar eje x o eje de abscisas; sobre él se sitúa la variable independiente. Al eje vertical se lo suele llamar eje y o eje de ordenadas; sobre él se sitúa la variable dependiente. Para situar las variables sobre los ejes, hay que dar una escala en cada uno de ellos.

Si P es un punto del plano, trazando por P la recta paralela al eje y, obtenemos un punto sobre el eje x al que llamamos abscisa de P. Trazando por P la recta paralela al eje x, obtenemos un punto sobre el eje y al que llamamos ordenada de P. Diremos que e son las coordenadas de P y escribiremos P = ( , ). Gráficamente

Definimos como al conjunto de puntos (x, y) del plano tal que y = f(x) para todo x perteneciente al dominio de f ; se denomina gráfica de f. En símbolos, .

Ejemplos:

• Sea la función / f(x) = 3x + 1. Algunos puntos de su gráfica son: (0, 1), (1, 4), (–1, –2), ( , 2). De esta manera obtenemos la siguiente representación gráfica de f:

• Consideremos la función / f(x) = x2. Para obtener su gráfico aproximado podríamos dar distintos valores a x y obtener los correspondientes valores de y. Para ello es cómodo hacer una tabla como la siguiente:

x f(x) = x2

–2 4

–1 1

0 0

0,5 0,25

1 1

2 4

Actividad:

Determinar, de los siguientes gráficos, cuáles de ellos representan funciones de R en R. En caso afirmativo, marcar en el gráfico la imagen de las funciones.

Estudiaremos ahora algunas funciones particulares que están dadas por expresiones polinómicas.

Función lineal

Una función lineal es una función f de la forma: , donde a y b son números reales.

• ¿Cuál será el dominio de dichas funciones? ¿Cuál será la imagen de dichas funciones?

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Veamos

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