Matrices Y Derivadas

INTRODUCCIÓN

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...

El determinante de una matriz cuadrada es un número que se obtiene a partir de los elementos de la matriz. Su estudio se justifica en cuanto que simplifica la resolución de sistemas lineales y el cálculo de la matriz inversa, entre otras aplicaciones.

MATRIZ

Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A = (aij), con i =1, 2,..., m, j =1, 2,..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.

PROPIEDADES DE MATRICES

➔ Suma de matrices

Dadas dos matrices del mismo orden A y B, se llama matriz suma a la matriz que se obtiene de sumar los elementos correspondientes de A y B. Es decir el primer elemento de A con el primer elemento de B, el segundo de A con el segundo de B y así sucesivamente.

La matriz suma es del mismo orden que el de las matrices que se suman, por lo tanto estas dos deben ser del mismo orden.

MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN NÚMERO REAL CUALQUIERA

Si tenemos una matriz A y un número real cualquiera que llamaremos k, el producto de k. A es una matriz, del mismo orden que A, que se obtiene de multiplicar cada elemento de A por k.

MATRIZ OPUESTA

Si multiplicamos una matriz A por (-1), se obtiene la matriz -A, que es la matriz opuesta a la dada.

RESTA DE MATRICES

La resta de dos matrices A y B, es decir (A - B), es igual a la suma de A más el opuesto de B. Por lo tanto podemos hacer: A - B = A + (- B).

Por último, digamos que si se suma una matriz cualquiera con su opuesta, se obtiene la matriz nula.

DETERMINANTES

Un determinante de orden 3 es igual a la suma algebraica de la multiplicación de los elementos de la diagonal principal menos la suma algebraica de la multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

➔ Si se intercambian las filas por las columnas de un determinante su valor no se altera

➔ Si se intercambian dos filas o dos columnas continuas en un determinante, el valor de éste cambia de signo

➔ Si todos los elementos de una fila o una columna de un determinante se multiplica por un mismo número k, el valor del determinante queda multiplicado por k

➔ Si todos los elementos de una fila o una columna son expresados como la suma de dos o más números,

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