Maximización De Costo Promedio

Ejemplo:

Los ingresos obtenidos por un comercial en una radiodifusora están dados por la siguiente función:

I(x)=(810x^2-x)/(3x^2+45) en miles de dólares

En donde x representa las semanas que es transmitido el comercial. Determine cuales serán los ingresos que se pueden lograr si el comercial se mantiene al aire por tiempo indefinido.

Solución: Ya que se desea saber cuáles serán los ingresos si se mantiene al aire por tiempo indefinido el comercial, entonces es necesario calcular la tendencia de la función de ingresos cuando el tiempo x tiende a .

lim┬(x→∞)⁡I(x)=lim┬(x→∞)⁡[(810x^2-x)/(3x^2+45)]

Para evaluar el límite de una función racional en el infinito primero es necesario dividir a toda la función entre la mayor potencia, en este caso x^2:

lim┬(x→∞)⁡I(x)=lim┬(x→∞)⁡[(810-1/x)/(3+45/x^2 )]

Evaluando ahora el límite cuando x→∞:

lim┬(x→∞)⁡I(x)=lim┬(x→∞)⁡[(810-1/∞)/(3+45/∞^2 )]

Ahora bien, cada valor dividido entre infinito será cero, ya que implica dividir cualquier valor entre un número muy grande, (ejemplo: divide una rebanada de pastel entre toda la población del D.F., a cada persona no le toca ni siquiera una migaja), lo que es muy similar a dividir entre el infinito:

lim┬(x→∞)⁡I(x)=lim┬(x→∞)⁡[(810-0)/(3+0)]=810/3=270

Y como la función está dada en miles de dólares:

I(x)=270,000 dólares

Actividades formativas: Los límites y aplicación en funciones

Los siguientes ejercicios son actividades formativas para que el estudiante practique y refuerce sus conocimientos.

Actividad 1. Maximización de costo promedio

El costo promedio mensual debido en una empresa de ensamble de computadoras por unidades ensambladas está dado por la siguiente función:

C(u)=(x^2+x-20)/(x^2-x-12)

En donde x representa el número de unidades ensambladas. Se desea aumentar el número de unidades ensambladas. Determine el costo promedio máximo de la empresa si una trabajador promedio ensambla 4 computadoras por turno.

Respuesta: ___ C(u)= ∞__ C(u)=9 __

Solución:

lim┬(x=4) Cu=(〖(4)〗^2+4-20)/(〖(4)〗^2-4-12)

C(u)=(16+4-20)/(16-4-12)

lim┬(x=4) C(u)=0/0=∞

(u)=(〖√x〗^2+x-20)/(〖√x〗^2-x-12)

〖√x〗^2+x-20=(x+5)(x-4)

〖√x〗^2-x-12=(x-3)(x-4)

C(u)=(x+5)(x-4)/((x-3)(x-4))

C(u)=(x+5)(x-4)/((x-3)(x-4))

C(u)=((x+5))/((x-3) )

lim┬(x=4) Cu=((4+5))/((4-3) )=9/1

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