Medidas De Tendencia Central

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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

La estadística descriptiva en su función básica de reducir datos,

propone una serie de indicadores que permiten tener una percepción

rápida de lo que ocurre en un fenómeno.

La primera gama de indicadores corresponde a las “Medidas de

Tendencia Central”. Existen varios procedimientos para expresar

matemáticamente las medidas de tendencia central, de los cuales,

los más conocidos son: la media aritmética, la moda y la mediana.

CAPITULO

4

61

CAPITULO 4: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Medidas de tendencia central: Son indicadores estadísticos que

muestran hacia que valor (o valores) se agrupan los datos.

Esta primera parte la dedicaremos a analizar tres medidas de tendencia central:

• La media aritmética

• La moda

• La mediana

En el suplemento de este capitulo incluiremos otras medidas de tendencia central.

4.1 LA MEDIA ARITMÉTICA

Equivale al cálculo del promedio simple de un conjunto de datos. Para diferenciar

datos muestrales de datos poblacionales, la media aritmética se representa con un

símbolo para cada uno de ellos: si trabajamos con la población, este indicador

será μ; en el caso de que estemos trabajando con una muestra, el símbolo será

X.

Media aritmética (μ o X): Es el valor resultante que se obtiene al dividir

la sumatoria de un conjunto de datos sobre el número total de datos. Solo

es aplicable para el tratamiento de datos cuantitativos.

Hay que entender que existen dos formas distintas de trabajar con los datos tanto

poblacionales como muestrales: sin agruparlos o agrupándolos en tablas de

frecuencias. Esta apreciación nos sugiere dos formas de representar la media

aritmética.

4.1.1 Media aritmética para datos no agrupados

Podemos diferenciar la fórmula del promedio simple para datos poblaciones y

muestrales:

N

X

N

i

i

= = 1 μ

Población

n

X

X

n

i

i

= = 1

Muestra

62

Observe que la variación de ambas fórmulas radica en el tamaño de los datos (N

identifica el tamaño de la población, mientras que n el de la muestra).

4.1.2 Ejemplo: la media aritmética para datos no agrupados

El profesor de la materia de estadística desea conocer el promedio de las notas

finales de los 10 alumnos de la clase. Las notas de los alumnos son:

3,2 3,1 2,4 4,0 3,5

3,0 3,5 3,8 4,2 4,0

¿Cuál es el promedio de notas de los alumnos de la clase?

SOLUCIÓN

Aplicando la fórmula para datos no agrupados tenemos:

10

34,7

10

3,2 3,1 2,4 4,0 3,5 3,0 3,5 3,8 ,4,2 4,0

=

+ + + + + + + + +

μ =

μ = 3,47

Cabe anotar que en el ejemplo estamos hablando de una población

correspondiente a todos los alumnos de la clase (10 alumnos en total). El

promedio de las notas es de 3,47.

Modifiquemos la primera nota por 0,0 y calculemos nuevamente la media

aritmética.

10

31,5

10

0,0 3,1 2,4 4,0 3,5 3,0 3,5 3,8 ,4,2 4,0

=

+ + + + + + + + +

μ =

μ = 3,15

En este caso la media pasa de 3,47 a 3,15. Esta variación notoria se debió a que

la media aritmética es sensible a los valores extremos cuando tratamos con pocos

datos. El 0,0 es una nota atípica comparada con las demás, que están ubicadas

entre 3,0 y 4,2.

4.1.3 Media aritmética para datos agrupados

En el capitulo 2 explicábamos dos tipos de tablas de frecuencias (A y B). Cuando

los datos se agrupan en tablas tipo A, la media aritmética es igual a la división de

la sumatoria del producto de las clases por la frecuencia sobre el número de

datos.

N

X f

Nc

i

i i

= = 1 μ

n

X f

X

Nc

i

i i

= =

1

63

La sumatoria parte desde el primer intervalo de clase (i = 1) hasta el último (Nc),

siendo Xi la clase del intervalo i.

Cuando los datos se agrupan en tablas de frecuencias tipo B, el cálculo de la

media varía un poco, ya que existe una pérdida de información en el momento en

que se trabaja con intervalos de frecuencia y no con los datos directamente (los

datos se agrupan por intervalo, desconociendo el valor exacto de cada uno de

ellos).

Las marcas de clases (Mc) cumple la función de representar los intervalos de

clase.

4.1.4 Ejemplo: media aritmética para datos agrupados en tablas tipo A

La siguiente tabla de frecuencia muestra el número de preguntas de 81

encuestados sobre un Test que consta de solo seis preguntas.

Preguntas Buenas Personas

1 15

2 13

3 8

4 19

5 21

6 5

SOLUCIÓN

N

Mc f

Nc

i

i i

= = 1 μ

Población

n

Mc f

X

Nc

i

i i

= =

1

Muestra

64

PASO 1: Realizar la sumatoria del producto resultante de las clases por su

frecuencia absoluta. Para efectos del cálculo de la media, deberíamos sumar 15

veces el valor 1, 13 veces el valor 2, 8 veces el valor 3, hasta llegar a la última

clase:

1 15 2 13 3 8 4 19 5 21 6 5 276

1

= + + + + + =

=

X f x x x x x x

Nc

i

i i

PASO 2: Dividir la sumatoria sobre el número total de datos.

81

276 1

= =

=

n

X f

X

Nc

i

i i

X = 3,41

En promedio los encuestados contestaron aproximadamente 3 (el valor exacto es

3,41) preguntas buenas.

4.1.5 Ejemplo: media aritmética para datos agrupados en tablas tipo B

Calcular la media para los datos distribuidos en la siguiente tabla de frecuencia:

Ni Lm Ls f Mc

1 40,0 48,1 3 44,1

2 48,1 56,1 8 52,1

3 56,1 64,1 11 60,1

4 64,1 72,1 32 68,1

5 72,1 80,1 21 76,1

6 80,1 88,1 18 84,1

7 88,1 96,1 14 92,1

8 96,1 104,0 1 100,1

SOLUCIÓN

Las marcas de clase representan a los intervalos de clase, por ejemplo,

suponemos que la marca de clase para el primer intervalo (44,1) se

...