Metodo Jacobi

Método de Jacobi

En análisis numérico el método de Jacobi es un método iterativo, usado para resolver sistemas de ecuaciones lineales del tipo Ax = b. El algoritmo toma su nombre del matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi. El método de Jacobi consiste en usar fórmulas como iteración de punto fijo.

Descripción

La base del método consiste en construir una sucesión convergente definida iterativamente. El límite de esta sucesión es precisamente la solución del sistema. A efectos prácticos si el algoritmo se detiene después de un número finito de pasos se llega a una aproximación al valor de x de la solución del sistema.

La sucesión se construye descomponiendo la matriz del sistema en la forma siguiente:

donde

, es una matriz diagonal.

, es una matriz triangular inferior.

, es una matriz triangular superior.

Partiendo de , podemos reescribir dicha ecuación como:

Luego,

Si aii ≠ 0 para cada i. Por la regla iterativa, la definición del Método de Jacobi puede ser expresado de la forma:

donde k es el contador de iteración, Finalmente tenemos:

Cabe destacar que al calcular xi(k+1) se necesitan todos los elementos en x(k), excepto el que tenga el mismo i. Por eso, al contrario que en el método Gauss-Seidel, no se puede sobreescribir xi(k) con xi(k+1), ya que su valor será necesario para el resto de los cálculos. Esta es la diferencia más significativa entre los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel. La cantidad mínima de almacenamiento es de dos vectores de dimensión n, y será necesario realizar un copiado explícito.

Convergencia

El método de Jacobi siempre converge si la matriz A es estrictamente diagonal dominante

ρ(D − 1R) < 1.

y puede converger incluso si esta condición no se satisface. Es necesario, sin embargo, que los elementos de la diagonal en la matriz sean mayores (en magnitud) que los otros elementos.

Algoritmo

El método de Jacobi se puede escribir en forma de algoritmo de la siguiente manera:

Algoritmo Método de Jacobi

función Jacobi (A, x0)

//x0 es una aproximación inicial a la solución//

para hasta convergencia hacer

para hasta hacer

para hasta hacer

si entonces

fin para

fin para

comprobar si se alcanza convergencia

fin para

Ejemplo

Un sistema linear de la forma Ax = b con una estimación inicialx(0) esta dado por

Usamos la ecuación x(k + 1) = D − 1(b − Rx(k)), descrita anteriormente, para estimar x. primero, re-escribimos la ecuación de una manera mas conveniente D − 1(b − Rx(k)) = Tx(k) + C, donde T = − D − 1R y C = D − 1b. vea que R = L + U donde L y U son las partes superior e inferior de A. de los valores conocidos.

determinamos T = − D − 1(L + U) as

C es encontrada como

con T y C calculadas, estimaremos x como x(1) = Tx(0) + C:

siguientes iteraciones.

este proceso se repetirá hasta que converja (i.e., hasta que es menor). la solución después de 25 iteraciones es:

Método de Gauss-Seidel

En análisis numérico el método de Gauss-Seidel es un método iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método se llama así en honor a los matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel y es similar al método de Jacobi.

Descripción

Es un método iterativo, lo que significa que se parte de una aproximación inicial y se repite el proceso hasta llegar a una solución con un margen de error tan pequeño como se quiera. Buscamos la solución a un sistema de ecuaciones lineales, en notación matricial:

El método de iteración Gauss-Seidel es

donde

definimos

y

...