MÉTODO DE JACOBI Y MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sí, ni en el denominador.

Por ejemplo, 3x+ 2y + 6z = 6 es una ecuación lineal con tres incógnitas.

Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 incógnitas representan una recta en el plano.

Si la ecuación lineal tiene 3 incógnitas, su representación gráfica es un plano en el espacio.

Ejemplo:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

Los métodos que se utilizarán para este trabajo son:

Método de Jacobi

Método de Gauss-Seidel

MÉTODO DE JACOBI

El Método de Jacobi es un método iterativo usado para resolver sistemas de ecuaciones lineales de tipo Ax=b, para ello se debe construir una sucesión convergente definida iterativamente, el límite de esta sucesión es precisamente la solución del sistema

ejemplo:

tenemos 3 ecuaciones:

3x-y-z=1

-x+3y+z=3

2x+y+4=7

Los convertimos en una matriz:

(■(3&-1&-1@-1&3&1@2&1&4))(■(x@y@z))=(■(1@3@7))

Donde tenemos que la primera matriz será nuestra “A” y la ultima será nuestra b, con lo que el sistema puede ser mostrado de la forma Ax=b.

Para hallar “X” como no tenemos valores exactos nos saldrá un valor aproximado

Para hallar la solución debemos descomponer la matriz del sistema “A” en la siguiente forma:

A=D+L+U

Donde:

D, es una matriz diagonal

L, es una matriz triangular inferior.

U, es una matriz triangular superior.

D= (■(3&0&0@0&3&0@0&0&4))

L=(■(0&0&0@1&0&0@-2&-1&0))

U=(■(0&1&1@0&0&-1@0&0&0))

Partiendo de Ax=b, podemos reescribir dicha ecuación para hallar b:

Dx+(L+U)x=b

Y tenemos que para hallar X es de la siguiente forma:

x=D-1[b-(L+U)x]

Aplicando la fórmula de Jacobi tenemos esta forma:

Xk+1= D-1. b+ D-1(L+U)xb

Hallamos por partes la ecuación que nos brindo al resumirlo:

(■(X(k+1)@Y(k+1)@Z(k+1)))= D-1.b=(■(1/3&0&0@0&1/3&0@0&0&1/4)). (■(1@3@7))= (■(1/3@1@7/4))

Hallamos la otra mitad:

D-1(L+U)= (■(1/3&0&0@0&1/3&0@0&0&1/4)). (■(0&1&1@1&0&-1@-2&-1&0))= (■(0&1/3&1/3@1/3&0&-1/3@-1/2&-1/4&0))

Xk+1= (■(1/3@1@7/4))+ (■(0&1/3&1/3@1/3&0&-1/3@-1/2&-1/4&0)). (■(X(k)@Y(k)@Z(k)))

(■(1/3@1@7/4))+( ■(1/3Y(k)&1/3Z(k)@1/3X(k)&-1/3Z(k)@-1/2X(k)&-1/4Y(k)))= (■(1/3&1/3Y(k)&1/3Z(k)@1&1/3X(k)&-1/3Z(k)@7/4&-1/2X(k)&1/4Y(k)))

Luego de este resultado lo ponemos como ecuaciones

Xk+1=1/3+1/3Y(k)+1/3Z(k)

Yk+1=1+1/3X(k)-1/3Z(k)

Zk+1=7/4-1/2X(k)-1/4Y(k)

Para comprobarlo usamos valores iniciales iguales a 0:

X0=0

Y0=0

Z0=0

Probando:

X(1)=1/3+1/3(0)+1/3(0)=0.333 X(2)=1.25 X(3)=0.95537

Y(1)=1+1/3(0)-1/3(0)=1 Y(2)=0.527778 Y(3)=0.97222

Z(1)=7/4-1/2(0)+1/4(0)=1.75 Z(2)=1.33333 Z(3)=0.99306

Se repite un número hasta que se encuentra un aproximado

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